聯招數學·線性規劃的整數最優解：頂點最優不等於整點最優 - 例題精講

編輯整理：中書院

例題精講 · 第 00736 題 · 先求連續最優，再在附近枚舉整點

以自編示意約束 2x+3y≤12、x+y≤5、x,y≥0 與目標 z=x+2y 為材料，求整數最優解，並回代直接對連續最優點取整造成的不可行。

00736題號全 1000 篇 · 第第123輪 / 第123冊輪

方向數學·導數與解三角形六向之一

題型自編仿真題逐題精講 · 采分點拆解

題目性質：自編仿真題——題目、材料、選項、數據與情境均為按課程標準與聯招常見考點獨立編寫的原創仿真題，非真題原文，未取自任何題庫、教輔或試卷；解析與採分點為教研整理，非官方評分標準。

例題精講 · 數學導數與解三角形

一、考點定位與做題順序

線性規劃的連續最優通常落在頂點，但題目要求整數解時，頂點未必是整點。穩妥做法是：先求連續最優，再在它附近按約束枚舉整點，逐個驗可行性並比目標值。

自編示意：約束 2x + 3y ≤ 12、x + y ≤ 5、x ≥ 0、y ≥ 0，目標 z = x + 2y 取最大。係數與約束均為自擬示意。

二、逐題精講

題1

題1　求整數最優解與最大 z，並列出可行域內整點個數。

解析

目標 z = x + 2y 的等值線斜率 −1/2，沿 y 增大方向 z 增大，所以先查 y 軸上的頂點。y = 4 時 2·0+3·4 = 12 ≤ 12、0+4 = 4 ≤ 5 成立，得 (0,4)、z = 8。再看兩邊界 2x+3y=12 與 x+y=5 的交點：由 x = 5−y 代入得 10−2y+3y = 12，y = 2、x = 3，給 z = 3+4 = 7；端點 (5,0) 給 5、(0,0) 給 0，都小於 8。按 0≤x≤6、0≤y≤4 逐點驗兩約束，可行整點共 18 個，枚舉比對後最大仍是 (0,4)。結論：最優點由目標方向定，不是由「兩直線交點」定。

答案　整數最優解 (0,4)，z = 8；可行整點共 18 個；(3,2) 給 z=7，非最優。

採分點　等值線方向 1 分、y 軸頂點 1 分、交點聯立 1 分、各頂點比值 1 分、整點枚舉 1 分、最優解 1 分。

易錯點　算出兩直線交點就當最優：目標方向不同，最優點可能落在另一頂點。

題2

題2　另取約束 2x+3y≤13、x+y≤4.5，說明為什麼把連續最優頂點直接取整會不可行，並給出附近合法整點。

解析

兩邊界聯立：x = 4.5−y 代入 2(4.5−y)+3y = 9+y = 13，得 y = 4、x = 0.5，是分數頂點，z = 0.5+8 = 8.5。直接四捨五入取整成 (1,4) 時，2·1+3·4 = 14 > 13，違反第一約束；1+4 = 5 > 4.5，也違反第二約束，故不可行。改取 (0,4)：2·0+3·4 = 12 ≤ 13、0+4 = 4 ≤ 4.5 成立，z = 8；再取 (1,3)：2+9 = 11 ≤ 13、4 ≤ 4.5，z = 7。枚舉附近整點後最大為 8。可見分數頂點必須「就近枚舉 + 逐點驗可行性」，不能只做四捨五入。

答案　連續頂點 (0.5, 4) 取整 (1,4) 不可行；合法整點中最優為 (0,4)、z = 8。

採分點　分數頂點求解 1 分、取整違反兩約束各 1 分、合法整點枚舉 1 分、最優值 1 分、方法結論 1 分。

易錯點　把「取整後取整點」當成通用做法，忽略取整可能同時踩破兩條約束。