題目性質：自編仿真題——題目、材料、選項、數據與情境均為按課程標準與聯招常見考點獨立編寫的原創仿真題，非真題原文，未取自任何題庫、教輔或試卷；解析與採分點為教研整理，非官方評分標準。
一、考點定位與做題順序
定積分求面積三步：先解交點定上下限，再判哪條曲線在上，最後用「上減下」作被積函數。若在區間內兩條曲線換了高低，就必須分段，否則正負會互相抵消。
自編示意：曲線 y = x 與 y = x²，區間先取第一象限圍成的封閉區域。函數為自擬示意，不代表真實測量。
二、逐題精講
題1
題1 求 y=x 與 y=x² 圍成區域的面積。
解析
解 x = x² 得交點 x=0 與 x=1。在 (0,1) 內 x > x²，故被積函數取 x−x²。原函數 F(x) = x²/2 − x³/3，面積 = F(1)−F(0) = (1/2−1/3)−0 = 0.166667，即 1/6 ≈ 0.1667。若把被積函數寫反成 x²−x，會得 −1/6，負號提示上下曲線判反了，面積取絕對值即可，但必須寫明原因。
答案 交點 x=0、1；面積 = 1/6 ≈ 0.166667。
採分點 解交點 1 分、判上下曲線 1 分、被積函數 1 分、原函數 1 分、面積 1 分、負號含義 1 分。
易錯點 不判上下曲線直接積 x²−x，會得到負面積。
題2
題2 若把上限誤取到 2，直接算 ∫₀²(x−x²)dx 會得多少？幾何面積又該是多少？
解析
帶符號積分 F(2)−F(0) = (2−8/3)−0 = -0.666667，即 −2/3，是負值。原因是 x>1 後 x² > x，上減下變成 x²−x，這一段積分貢獻為負。幾何面積要分段取絕對值：0→1 段 0.166667，1→2 段 |F(2)−F(1)| = 0.833333，合計 1.0000。所以「帶符號積分 = −2/3」與「幾何面積 = 1」並不矛盾，是兩個不同量；把 −2/3 直接報成面積是錯的，把兩段絕對值相加才對。
答案 帶符號積分 -0.666667；分段幾何面積 1.0000（1/6 + 5/6）。
採分點 帶符號值 1 分、變號點 1 分、兩段絕對值各 1 分、合計 1 分、兩個量辨析 1 分。
易錯點 把帶符號積分的負值取個絕對值就當面積，忽略 0→1 段與 1→2 段要分開加。
三、規律小結與對照表
| 區間 | 上減下 | 帶符號積分 | 幾何面積 |
|---|---|---|---|
| 0→1 | x−x² | 0.166667 | 0.166667 |
| 1→2 | x−x²（為負） | -0.833333 | 0.833333 |
| 0→2 合計 | — | -0.666667 | 1.0000 |
| 正確上限 | 0→1 | 0.166667 | 0.166667 |
| 兩個量 | 帶符號 vs 面積 | 可負 | 非負 |
小結：先解交點定區間、判上下曲線；跨過變號點必須分段取絕對值，帶符號積分不等於面積。
四、自測清單
- 能解兩曲線交點
- 能判斷區間內哪條曲線在上
- 能寫出被積函數與原函數
- 能計算圍成面積
- 能識別帶符號積分變負的原因
- 能分段求幾何面積並區分兩個量
