聯招數學·兩邊固定時面積的最大值：把 sin C 頂到 1 之前先查第三邊 - 例題精講

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例題精講 · 第 00742 題 · 夾角變化會同時改第三邊，別隻盯面積公式

以自編示意三角形兩邊 a=4.00、b=6.00 為材料，求 C=60.0° 時的面積，並討論面積取最大時第三邊與外接圓半徑的變化。

00742題號全 1000 篇 · 第第124輪 / 第124冊輪

方向數學·導數與解三角形六向之一

題型自編仿真題逐題精講 · 采分點拆解

題目性質：自編仿真題——題目、材料、選項、數據與情境均為按課程標準與聯招常見考點獨立編寫的原創仿真題，非真題原文，未取自任何題庫、教輔或試卷；解析與採分點為教研整理，非官方評分標準。

例題精講 · 數學導數與解三角形

一、考點定位與做題順序

兩邊給定時，面積只差一個 sin C。由 S = ½ab sin C 與 sin C ≤ 1 立刻得上界 ½ab，等號在 C = 90° 取到。但要小心：C 一變，第三邊 c 也跟著變，所以「面積最大」和「周長最小」不是同一件事。

自編示意：a = 4.00、b = 6.00，先取 C = 60.0°。數值為自擬示意，不代表真實測量。

二、逐題精講

題1

題1　求 C=60.0° 時的 c、S 與此時相對最大面積的差距。

解析

餘弦定理：c² = 16+36−2·24·cos60° = 52−24 = 28.0000，c = 5.2915。面積 S = ½·4·6·sin60° = 12×0.8660254 = 10.3923。兩邊固定時最大面積 Smax = ½ab = 12.00，在 C=90° 取到，故當前比最大值小 13.4%。用 ½ab sin C 與 ½ab·(c/2R)·… 等不同寫法互驗時，必須先統一 C，否則 c 與 R 都對不上。

答案　c = 5.2915；S = 10.3923；Smax = 12.00，當前小 13.4%。

採分點　餘弦定理 1 分、c 值 1 分、面積式 1 分、S 值 1 分、上界與等號條件 1 分、差距 1 分。

易錯點　把 cos60° 寫成 0.866（那是 sin60°），c 會算錯。

題2

題2　面積取最大時 C、c 各是多少？說明為什麼此時周長反而更大。

解析

sin C = 1 時 C = 90.0°，c′² = 16+36−2·24·cos90° = 52，c′ = √52 = 7.2111，比 C=60° 的 5.2915 更長。周長從 4+6+5.2915 = 15.2915 增到 4+6+7.2111 = 17.2111。原因很直接：C 變大讓對邊 c 變長，面積靠 sin C 漲到頂，周長卻靠 c 一起漲。所以「面積最大」和「周長最短」是兩個不同目標，不能用一個結論套另一個；若要周長最小，應讓 C → 0，此時面積也趨近 0。

答案　C = 90.0°，c′ = 7.2111；周長為 17.2111，比 C=60° 時更大。

採分點　等號條件 1 分、c′ 1 分、兩週長各 1 分、聯動解釋 1 分、不同目標辨析 1 分。

易錯點　把「面積最大」順手寫成「周長也最小」，忽略 c 隨 C 單調增。