題目性質：自編仿真題——題目、材料、選項、數據與情境均為按課程標準與聯招常見考點獨立編寫的原創仿真題，非真題原文，未取自任何題庫、教輔或試卷；解析與採分點為教研整理，非官方評分標準。
一、考點定位與做題順序
「獨立」和「互斥」最容易混：獨立說的是一個發生不改變另一個的概率，判據是 P(AB) = P(A)P(B)；互斥說的是兩個不能同時發生，判據是 P(AB) = 0。兩者除了一方概率為零的退化情形，不能同時成立。
自編示意：P(A) = 0.40，P(B) = 0.50，P(AB) = 0.20。數值為自擬示意，不代表真實統計。
二、逐題精講
題1
題1 求 P(A|B)、P(B|A)，判斷 A、B 是否獨立、是否互斥。
解析
P(A|B) = P(AB)/P(B) = 0.20/0.50 = 0.40，恰好等於 P(A)=0.40；P(B|A) = 0.20/0.40 = 0.50，也等於 P(B)=0.50。再看乘積判據：P(A)P(B) = 0.40×0.50 = 0.20 = P(AB)，故 A、B 獨立。而 P(AB)=0.20 ≠ 0，故不互斥。獨立與互斥在這裡給出相反結論，正好說明它們不是一回事。
答案 P(A|B) = 0.40；P(B|A) = 0.50；獨立，不互斥。
採分點 條件概率式 1 分、兩條件概率各 1 分、乘積判據 1 分、獨立結論 1 分、互斥辨析 1 分。
易錯點 把「獨立」順手寫成「互斥」：本題 P(AB) 不為零，兩者不能同真。
題2
題2 若把 P(AB) 誤記成 0.25，條件概率與獨立性結論會怎麼變？說明為什麼單看 P(A|B) 變了還不夠。
解析
誤記後 P(A|B)′ = 0.25/0.50 = 0.50，與 P(A)=0.40 不再相等；P(A)P(B) = 0.20 ≠ 0.25，乘積判據也不成立，故判為不獨立。單看「條件概率從 0.40 變 0.50」只能說數值變了，真正定結論的是兩條判據同時失效：P(A|B) 是否等於 P(A)、以及 P(AB) 是否等於 P(A)P(B)。另外誤記還要查一致性：P(AB) 不能超過 min(P(A),P(B)) = 0.40，0.25 雖在範圍內，卻與給定的另兩個數不自洽；若誤記成 0.45 就直接越界，可用作上界自檢。
答案 P(A|B)′ = 0.50；乘積判據不成立，判為不獨立；須兩條判據一起查。
採分點 誤記條件概率 1 分、乘積判據 1 分、結論翻轉 1 分、雙判據 1 分、上界自檢 1 分。
易錯點 只報「條件概率變了」就下結論，漏掉乘積等式這條獨立判據。
三、規律小結與對照表
| 量 | 公式 | 給定值 | 誤記 0.25 |
|---|---|---|---|
| P(AB) | — | 0.20 | 0.25 |
| P(A)P(B) | 0.40×0.50 | 0.20 | 0.20 |
| P(A|B) | P(AB)/P(B) | 0.40 | 0.50 |
| 獨立? | P(AB)=P(A)P(B) | 是 | 否 |
| 互斥? | P(AB)=0 | 否 | 否 |
小結：獨立看乘積等式、互斥看交集為零；結論翻轉要兩條判據一起查，並順手做交集上界自檢。
四、自測清單
- 能用條件概率公式
- 能用 P(AB)=P(A)P(B) 判獨立
- 能區分獨立與互斥
- 能回代誤記後的結論變化
- 能說明雙判據的必要性
- 能用 min 上界做一致性自檢
