題目性質：自編仿真題——題目、材料、選項、數據與情境均為按課程標準與聯招常見考點獨立編寫的原創仿真題，非真題原文，未取自任何題庫、教輔或試卷；解析與採分點為教研整理，非官方評分標準。
一、考點定位與做題順序
角平分線定理給的是分點比，不是長度：BD/DC = AB/AC。知道分點後，角平分線長可以用 AD² = AB·AC − BD·DC 直接算，也可以代 Stewart 定理 b²·BD + c²·DC = a(AD² + BD·DC) 反解，兩路應完全一致。
自編示意：AB = 6.00，AC = 8.00，BC = 10.00，恰為直角三角形（∠A = 90°）。三邊為自擬示意數值，不代表真實測量。
二、逐題精講
題1
題1 求 BD、DC 與角平分線 AD 的長，並用 Stewart 定理互驗。
解析
由角平分線定理 BD:DC = AB:AC = 6:8 = 3:4，故 BD = 10.00×3/7 = 4.2857，DC = 10.00×4/7 = 5.7143，兩者相加 10.0000 = BC 閉合。第一路：AD² = AB·AC − BD·DC = 48.0000 − 24.4898 = 23.5102，AD = 4.8487。第二路 Stewart：b²·BD + c²·DC = 64.00×4.2857 + 36.00×5.7143 = 480.0000；右端 a(AD² + BD·DC) = 10.00×(23.5102 + 24.4898) = 480.0000，兩端相等，AD² 反解仍 23.5102。兩路閉合。
答案 BD = 4.2857，DC = 5.7143，AD = 4.8487（AD² = 23.5102）；Stewart 兩路一致。
採分點 分點比 1 分、BD 1 分、DC 1 分、AD² 公式 1 分、AD 值 1 分、Stewart 互驗 1 分。
易錯點 把 BD:DC 寫成 AC:AB，分點會落到另一側。
題2
題2 若把比例反取成 4:3，BD′、DC′ 與 AD 各是多少？說明為什麼 AD 不能當報警量。
解析
反取後 BD′ = 10.00×4/7 = 5.7143，DC′ = 10.00×3/7 = 4.2857，與正確值恰好互換。乘積 BD′·DC′ = 24.4898，與正確的 24.4898 相同，因此 AD² = bc − 乘積 仍是 23.5102、AD 仍是 4.8487。原因是 AD² 只依賴「兩段的乘積」，而乘積在互換下不變；反取比例只是把 D 挪到關於 BC 中點的對稱位置。所以核對時若只看 AD 長度會漏檢，必須回到 BD:DC = AB:AC 的定比關係、或直接驗 BD+DC 與 BD/DC 兩個量。若把 AD 也隨比例改動，等於用錯誤分點反推長度，屬循環論證。
答案 BD′ = 5.7143，DC′ = 4.2857，AD 仍 4.8487；報警量應為分點比與兩段位置。
採分點 反取後兩段各 1 分、乘積不變 1 分、AD 不變 1 分、互換對稱性說明 1 分、報警量歸屬 1 分。
易錯點 看到 AD 一致就判定「兩種分點等價」，是最常見的漏檢。
三、規律小結與對照表
| 量 | 公式 | 正確（3:4） | 反取（4:3） |
|---|---|---|---|
| BD | BC·AB/(AB+AC) | 4.2857 | 5.7143 |
| DC | BC·AC/(AB+AC) | 5.7143 | 4.2857 |
| BD·DC | 兩段相乘 | 24.4898 | 24.4898 |
| AD² | AB·AC − BD·DC | 23.5102 | 23.5102 |
| 報警量 | 分點比 BD/DC | 0.7500 | 1.3333 |
小結：分點比由鄰邊定，長度由兩段乘積定；互換兩段不改變乘積也不改變 AD，故必須拿分點比回代，不能只核長度。
四、自測清單
- 能按鄰邊比寫出 BD:DC
- 能求兩段的數值並閉合到 BC
- 能用 AD² = bc − BD·DC 求角平分線長
- 能用 Stewart 定理反解互驗
- 能解釋反取比例後 AD 不變的原因
- 能指出分點比才是報警量
