題目性質：自編仿真題——題目、材料、選項、數據與情境均為按課程標準與聯招常見考點獨立編寫的原創仿真題，非真題原文，未取自任何題庫、教輔或試卷；解析與採分點為教研整理，非官方評分標準。
一、考點定位與做題順序
牛頓環第 m 級暗環滿足 rₘ² = mλR，其中 r 是半徑、不是讀數顯微鏡直接給出的直徑 d。用兩級直徑平方差可以消掉接觸點零位不準帶來的常數偏置：R = (dₘ² − dₙ²) / [4(m−n)λ]，分母的 4 來自 d = 2r。
自編示意：單色光波長 589.3 nm，平凸透鏡曲率半徑 2.000 m，取第 5 與第 15 級暗環。波長、讀數與透鏡參數均為自擬示意，不代表真實測量。
二、逐題精講
題1
題1 求兩級暗環直徑並由平方差反解 R，說明為什麼用兩級而不是單級。
解析
r₅ = √(5×0.0000005893×2.000) = √0.0000058930 = 2.4276 mm，故 d₅ = 4.8551 mm；同理 r₁₅ = 4.2046 mm，d₁₅ = 8.4093 mm。平方差 d₁₅² − d₅² = 0.0000471440 m²，分母 4(m−n)λ = 4×10×0.0000005893 = 0.0000235720，R = 2.0000 m，與設定 2.000 m 閉合。用兩級是因為接觸點可能不是理想點接觸，單級 rₘ² = mλR 會帶一個固定零位偏置 δ；兩級相減把 δ 消掉，這正是平方差法比單級法穩的原因。
答案 d₅ = 4.8551 mm、d₁₅ = 8.4093 mm；R = 2.0000 m；兩級平方差可消零位偏置。
採分點 暗環條件 1 分、兩級半徑 1 分、兩級直徑 1 分、平方差式 1 分、分母 4 的來源 1 分、零位偏置消除 1 分。
易錯點 把讀數顯微鏡給出的直徑直接當 r 代進 rₘ²=mλR。
題2
題2 若漏掉分母的 4，R 報成多少？若把第 15 級錯記成第 14 級呢？說明兩種偏差為何不同。
解析
漏除 4 等於把 d 當 r 用，R 變成 8.0000 m，相對 2.000 m 偏大 (4R−R)/R = 300.0%：這是固定倍數誤差，換哪一級、重複測多少次都按 4 倍錯，必須靠量綱核對（直徑÷2 才是半徑）攔下。級數錯記則不同：把 15 記成 14，級差由 10 變 9，R′ = (d₁₅²−d₅²)/(4×9×λ) = 2.2222 m，偏大 (2.2222−2.000)/2.000 = 11.1%。這個偏差隨級差變化，級差越大越不敏感，故宜取相隔較遠的兩級。注意錯記級數時兩個直徑讀數本身沒錯，改讀數去湊 R 是循環論證；正確處置是複核環數計數約定（中心暗斑算第 0 級還是第 1 級）。
答案 漏除 4：R=8.0000 m、偏大 300.0%；級數錯記：R=2.2222 m、偏大 11.1%；前者倍數型、後者隨級差變。
採分點 漏 4 結果 1 分、倍率 1 分、級數錯記結果 1 分、相對偏差 1 分、兩類偏差區分 1 分、計數約定複核 1 分。
易錯點 把「偏大 300.0%」寫成「是原來的 3 倍」，4 倍與多 3 倍不是一回事。
三、規律小結與對照表
| 情形 | 公式 | R（m） | 偏差 |
|---|---|---|---|
| 正確 | (d₁₅²−d₅²)/(4×10×λ) | 2.0000 | 0.0% |
| 漏除 4 | (d₁₅²−d₅²)/(10×λ) | 8.0000 | 偏大 300.0% |
| 級數錯記 14 | (d₁₅²−d₅²)/(4×9×λ) | 2.2222 | 偏大 11.1％ |
| d₅ | 2√(5λR) | 4.8551 mm | — |
| d₁₅ | 2√(15λR) | 8.4093 mm | — |
小結：暗環用 rₘ²=mλR，讀數是直徑要先除以 2；兩級平方差消零位偏置，漏 4 是倍數誤差、數錯級數是級差誤差，攔法不同。
四、自測清單
- 能寫出暗環半徑條件
- 能把直徑換成半徑
- 能用兩級平方差反解 R
- 能說明平方差消零位偏置
- 能識別漏除 4 的倍數誤差
- 能回代數錯級數的相對偏差
