聯招數學·獨立性檢驗 K²：交叉乘積差才是敏感量，對調兩格不報警 - 例題精講

編輯整理：中書院

例題精講 · 第 00778 題 · 先算 ad−bc，再和臨界值比，別先下結論

以自編示意 2×2 列聯表為材料，用 K²=n(ad−bc)²/[(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)] 判斷是否有關聯，並回代對調兩格與改動一格時 K² 的變化。

00778題號全 1000 篇 · 第第130輪 / 第130冊輪

方向數學·導數與解三角形六向之一

題型自編仿真題逐題精講 · 采分點拆解

題目性質：自編仿真題——題目、材料、選項、數據與情境均為按課程標準與聯招常見考點獨立編寫的原創仿真題，非真題原文，未取自任何題庫、教輔或試卷；解析與採分點為教研整理，非官方評分標準。

例題精講 · 數學導數與解三角形

一、考點定位與做題順序

獨立性檢驗的結論只由 K² 與臨界值的比較給出，不要先看佔比就下判斷。K² 的分子裡最關鍵的是 ad − bc：它衡量「兩行兩列是否成比例」，成比例時該項為 0，K² 也為 0。

自編示意 2×2 列聯表：A 類支持 40 / 不支持 20，B 類支持 30 / 不支持 30，合計 n = 120。數據為自擬示意統計，不代表真實調查。

二、逐題精講

題1

題1　求 K²，並與 95%、99% 臨界值比較給出結論。

解析

四個邊際和：a+b = 60，c+d = 60，a+c = 70，b+d = 50，n = 120。交叉乘積差 ad − bc = 40×30 − 20×30 = 1200 − 600 = 600，平方 360000。K² = 120×360000 / [(60)(60)(70)(50)] = 43200000 / 12600000 = 3.4286。與臨界值比：3.4286 < 3.841（95% 把握），也 < 6.635（99% 把握），所以沒有充分證據認為兩類與態度有關聯。注意結論只能寫「不能認為有關」，不能寫「證明無關」；K² 小隻說明證據不足。

答案　K² = 3.4286 < 3.841 < 6.635；不能認為兩變量有關聯（不是證明無關）。

採分點　四個邊際和 1 分、ad−bc 1 分、分子 1 分、分母 1 分、K² 值 1 分、臨界值比較與措辭 1 分。

易錯點　把「不能認為有關」寫成「證明兩者無關」，或把臨界值大小順序顛倒。

題2

題2　若把 b 與 c 對調，K² 變不變？若把 d 由 30 改為 20 呢？說明哪個量是報警量。

解析

對調 b、c 後，ad − bc = 40×30 − 30×20 = 1200 − 600 = 600，與原來完全相同；四個邊際和也只是兩兩互換，乘積不變，故 K² 仍 3.4286。這說明按「只看合計」或「只看 K² 數值」核不出這種抄錄錯，必須回到原始四格。把 d 改成 20 則不同：n′ = 110，ad − bc = 40×20 − 20×30 = 200，邊際和變為 60、50、70、40，K²′ = 110×40000/8400000 = 0.5238，明顯下降。所以敏感量是交叉乘積差 ad − bc 與四格本身；K² 是它的函數，對調兩格恰好是這個函數的一個對稱變換。報警時逐格核對邊際和與 ad − bc 兩項，比只報一個 K² 更穩。

答案　對調 b、c：K² 仍 3.4286；d 改 20：K² = 0.5238；報警量是 ad−bc 與四格原始值。

採分點　對調後交叉差 1 分、K² 不變 1 分、對稱性說明 1 分、改 d 後交叉差 1 分、新 K² 1 分、報警量歸屬 1 分。

易錯點　看到 K² 沒變就判定「四格一定抄對了」，忽略對調對稱變換。