聯招數學·對勾函數 y=x+a/x：基本不等式的等號條件帶符號

題目性質：自編仿真題——題目、材料、選項、數據與情境均為按課程標準與聯招常見考點獨立編寫的原創仿真題，非真題原文，未取自任何題庫、教輔或試卷；解析與採分點為教研整理，非官方評分標準。

一、考點定位與做題順序

x > 0 時，x + a/x ≥ 2√a，等號在 x = √a 取到；這個「最小值」結論的成立前提就是 x > 0。把同一套話搬到 x < 0，不等號方向會反過來，x = −√a 處得到的反而是局部最大值。

自編示意：f(x) = x + 4/x，先取 x > 0，再在區間 [1, 3] 與負半軸各查一遍。函數與參數均為自擬示意，不代表真實測量。

二、逐題精講

題1

題1　求 x>0 時的最小值與單調區間，並求 [1,3] 上的最大、最小值。

解析

由基本不等式 x + 4/x ≥ 2√4 = 4.0000，等號在 x = √4 = 2.0000。也可由 f′(x) = 1 − 4/x² 驗證：f′ < 0 當 0 < x < 2.0000，f′ > 0 當 x > 2.0000，故減區間 (0, 2.0)、增區間 (2.0, +∞)。在 [1, 3] 上只需比三點：f(1) = 1 + 4/1 = 5.0000，f(2) = 4.0000，f(3) = 3 + 4/3 = 4.3333。最小 4.0000（在 x=2）、最大 5.0000（在 x=1）。注意 4.3333 大於最小但小於最大，不能只比兩個端點就下結論——區間內含駐點時駐點必須參與比較。

答案　最小值 4.0000 於 x=2.0000；減 (0,2.0)、增 (2.0,+∞)；[1,3] 上最小 4.0000、最大 5.0000。

採分點　基本不等式 1 分、等號條件 1 分、導數定區間 1 分、三點取值 1 分、最大最小各 1 分、駐點參與比較 1 分。

易錯點　在閉區間上只比兩個端點，漏掉區間內的駐點。

題2

題2　把「最小值 −4」套到負半軸會出什麼問題？若把 a 誤讀成 9 呢？

解析

負半軸上 x = −2.0 時 f(−2) = −2 + 4/(−2) = -4.0000；再看 x = -1 得 -5.0000、x = −3 得 −4.3333，都小於 -4.0000，所以 -4.0000 是**局部最大值**而非最小值。根子在等號條件：x + a/x ≥ 2√a 要求 x > 0；x < 0 時應寫成 x + a/x ≤ −2√a，方向反過來。因此 x = ±2.0 的符號可作為報警量，看到「最小值 −4」先查定義域符號，不能憑對稱性照搬。另一類錯是把 a 誤讀成 9：最小值變 2√9 = 6.0000、等號點 x = 3.0，相對 4.0000 偏大 (6.0000−4.0000)/4.0000 = 50.0%；這時 f′(x) = 1 − 9/x² 的駐點也跟著移到 3.0，用導數式回代即可當場攔下，不必等算完閉區間。

答案　負半軸 -4.0000 是局部最大，因不等號方向反轉；a 誤讀 9 得 6.0000、偏大 50.0%，導數駐點可攔下。

採分點　負半軸取值 1 分、局部最大判定 1 分、不等號方向 1 分、符號報警 1 分、誤讀結果 1 分、導數回代 1 分。

易錯點　看到 ±2 對稱就把正半軸結論整個照搬到負半軸。

三、規律小結與對照表

小結：基本不等式的最小值是 x>0 的結論，負半軸方向反轉；閉區間要連駐點一起比，a 讀錯可用導數駐點當場攔下。

四、自測清單

• 能用基本不等式求正半軸最小值
• 能用導數定增減區間
• 能在閉區間連駐點一起比較
• 能說明負半軸不等號反轉
• 能用等號條件符號作報警
• 能回代 a 讀錯後的偏差