題目性質：自編仿真題——題目、材料、選項、數據與情境均為按課程標準與聯招常見考點獨立編寫的原創仿真題，非真題原文，未取自任何題庫、教輔或試卷；解析與採分點為教研整理，非官方評分標準。
一、考點定位與做題順序
四個均值寫成一列最不容易亂：H = 2ab/(a+b)，G = √(ab)，A = (a+b)/2，Q = √((a²+b²)/2)。對任意正數恆有 H ≤ G ≤ A ≤ Q，且四個等號同時成立當且僅當 a = b。
取自編示意 a = 4、b = 9，四個值都要按題面參數現算；數值為示意取數，不代表任何真實統計量。
二、逐題精講
題1
題1 求 a = 4、b = 9 的 H、G、A、Q，並驗證鏈條。
解析
H = 2×4×9/(4+9) = 72/13 = 5.5385；G = √36 = 6.0000；A = (4+9)/2 = 6.5000；Q = √((16+81)/2) = √48.5 = 6.9642。
逐項比較：5.5385 ≤ 6.0000 ≤ 6.5000 ≤ 6.9642，鏈條成立。四者互不相等，說明 a ≠ b 時等號一個都取不到。Q − H = 6.9642 − 5.5385 = 1.4257，可作為兩數離散程度的示意量。
答案 H=5.5385、G=6.0000、A=6.5000、Q=6.9642；H ≤ G ≤ A ≤ Q 成立，Q−H=1.4257。
採分點 四個均值各 1 分、鏈條驗證 1 分、等號條件 1 分、差值 1 分。
易錯點 把 Q 寫成 (a+b)/2 的算術平均，或把 H 寫成 √ab。
題2
題2 若改取 a = b = 4，四個均值各是多少？此時 Q − H 為多少？
解析
a = b = 4 時：H = 2×16/8 = 4.0000，G = √16 = 4.0000，A = 8/2 = 4.0000，Q = √((16+16)/2) = 4.0000，四者同為 4.0000，Q − H = 0.0000。
這正好驗證「等號同時成立當且僅當 a = b」：只要兩數不等，Q − H 就嚴格大於 0，本題 a=4、b=9 時是 1.4257。
答案 四者同為 4.0000，Q−H=0.0000；等號條件為 a=b。
採分點 四個均值 2 分、差值 1 分、等號條件 2 分、與題1 對照 1 分。
易錯點 認為「a=b 時只有 G=A 相等」，漏掉 H 與 Q。
三、規律小結與對照表
| 均值 | 表達式 | a=4,b=9 | a=b=4 |
|---|---|---|---|
| 調和 H | 2ab/(a+b) | 5.5385 | 4.0000 |
| 幾何 G | √(ab) | 6.0000 | 4.0000 |
| 算術 A | (a+b)/2 | 6.5000 | 4.0000 |
| 平方 Q | √((a²+b²)/2) | 6.9642 | 4.0000 |
小結：四個均值按 H ≤ G ≤ A ≤ Q 排隊，等號只在 a=b 時同時取到；Q−H 可作離散程度的示意量，換一組數就換一個值。
四、自測清單
- 能寫出四個均值表達式
- 能按 a=4,b=9 算出四個值
- 能驗證鏈條不等號
- 能說明等號同時成立的條件
- 能回代 Q−H
- 能說明 a=b 時四者為何全等
