題目性質：自編仿真題——題目、材料、選項、數據與情境均為按課程標準與聯招常見考點獨立編寫的原創仿真題，非真題原文，未取自任何題庫、教輔或試卷；解析與採分點為教研整理，非官方評分標準。
一、考點定位與做題順序
極化恆等式 a·b = (|a+b|² − |a−b|²)/4 把「點積」換成「兩條對角線長度的平方差」，在幾何題裡常比直接拆座標快。它和 |a±b|² = |a|² + |b|² ± 2a·b 是同一件事的兩種寫法，可互相回代。
取自編示意 |a| = 3、|b| = 5、a·b = 6；數值為示意取數。
二、逐題精講
題1
題1 用極化恆等式求 a·b，並求夾角與雙向投影。
解析
|a+b|² = 9 + 25 + 2×6 = 46，|a−b|² = 9 + 25 − 2×6 = 22，代回 (46 − 22)/4 = 6，與題給 a·b = 6 閉合。又 |a+b| = 6.782、|a−b| = 4.690。
cosθ = 6/(3×5) = 0.4，θ = 66.42°。b 在 a 方向的投影為 a·b/|a| = 6/3 = 2.0；a 在 b 方向的投影為 a·b/|b| = 6/5 = 1.2。兩個投影分母不同，不能互換。
答案 a·b=(46−22)/4=6；cosθ=0.4、θ=66.42°；投影 2.0 與 1.2。
採分點 兩平方值各 1 分、極化回代 1 分、夾角 2 分、雙向投影 1 分、口徑區分 1 分。
易錯點 把投影統一寫成 |b|cosθ，或把 |a−b|² 的 −2a·b 寫成 +。
題2
題2 若把 |a−b|² 誤記成 20，反求的 a·b 是多少、偏高多少？
解析
誤記後代回 (46 − 20)/4 = 6.5，比題給 6 偏高 (6.5/6 − 1) = 8.3%。
錯因是把「減 2a·b」的係數或 |a|²+|b|² 的 34 記錯：正確應為 34 − 12 = 22，不是 20。用 |a+b|² + |a−b|² = 2(|a|²+|b|²) = 68 也能立刻攔下：46 + 20 = 66 ≠ 68。
答案 反求 6.5，偏高 8.3%；用 68 的平方和恆等式可攔下。
採分點 錯法數值 1 分、偏高 1 分、正確差方 1 分、平方和恆等式 2 分、攔截說明 1 分。
易錯點 只報 6.5 不回代平方和，漏掉最省事的攔截。
三、規律小結與對照表
| 量 | 表達式 | 本題值 | 用途 |
|---|---|---|---|
| |a+b|² | |a|²+|b|²+2a·b | 46 | 極化被減數 |
| |a−b|² | |a|²+|b|²−2a·b | 22 | 極化減數 |
| a·b | (46−22)/4 | 6 | 四路互驗 |
| 平方和 | 2(|a|²+|b|²) | 68 | 誤記攔截 |
小結：極化恆等式與平方和恆等式成對使用，一個求值一個攔錯；雙向投影分母不同，分開報。
四、自測清單
- 能寫出極化恆等式
- 能算 |a+b|² 與 |a−b|²
- 能反求數量積並閉合
- 能求夾角與雙向投影
- 能用平方和恆等式攔錯
- 能算誤記後的偏高
