題目性質：自編仿真題——題目、材料、選項、數據與情境均為按課程標準與聯招常見考點獨立編寫的原創仿真題，非真題原文，未取自任何題庫、教輔或試卷；解析與採分點為教研整理，非官方評分標準。
一、考點定位與做題順序
含 e^x 與多項式的函數，駐點往往解不出初等閉式，但「設而不求」夠用：設 f′(x₀)=0 得 e^(x₀)=2，把這個關係代回 f(x₀)，超越式就降成一次式，符號立刻可判，不必算出 x₀ 的近似值也能推進證明。
取自編示意 f(x) = e^x − 2x − 1（x ≥ 0）；函數與取數為示意設定。
二、逐題精講
題1
題1 求駐點條件，用設而不求判定 f(x₀) 的符號，並說明單調區間。
解析
f′(x) = e^x − 2，令其為 0 得 e^(x₀) = 2，即 x₀ = ln2 = 0.6931，是唯一駐點。x < x₀ 時 f′ < 0，x > x₀ 時 f′ > 0，故先減後增。
設而不求：由 e^(x₀) = 2 代回 f(x₀) = 2 − 2x₀ − 1 = 1 − 2x₀。因 x₀ = 0.6931 > 0.5，故 1 − 2x₀ < 0，精確值為負 0.3863。全程只用 e^(x₀)=2 這一個關係，沒有解超越方程。
答案 x₀=ln2=0.6931；f(x₀)=1−2x₀=負 0.3863；先減後增，x₀ 處取最小值。
採分點 導數與駐點 2 分、唯一性 1 分、代回降次 2 分、符號判定 1 分、單調區間 1 分。
易錯點 硬去解 e^x=2x 之類的錯方程，或把 e^(x₀)=2 代回時漏掉 −1。
題2
題2 求 f(2)；若把 e 粗略取成 2.70，估算值偏低多少？
解析
f(2) = e² − 5 = 7.3891 − 5 = 2.3891。粗略取 e ≈ 2.70 時得 2.70² − 5 = 7.29 − 5 = 2.29，比 2.3891 偏低 (2.3891 − 2.29)/2.3891 = 4.1%。
本題 e 的取位隻影響數值估算，不影響題1 的符號結論——設而不求的優勢正在於此：符號由結構關係決定，與近似取值無關。
答案 f(2)=2.3891；取 e≈2.70 得 2.29，偏低 4.1%；符號結論不受取位影響。
採分點 精確值 2 分、粗估值 1 分、偏低 1 分、結構說明 2 分。
易錯點 把粗略取值的偏差當成題1 符號結論不成立。
三、規律小結與對照表
| 步驟 | 用到的關係 | 本題值 | 是否需解出 x₀ |
|---|---|---|---|
| 求導 | f′(x)=e^x−2 | x₀=0.6931 | 否 |
| 代回降次 | e^(x₀)=2 | 1−2x₀ | 否 |
| 定符號 | x₀>0.5 | 負 0.3863 | 否 |
| 端點值 | f(2)=e²−5 | 2.3891 | 需取 e |
小結：隱零點用駐點關係代回降次，符號由結構定；數值估算的取位誤差不改符號結論。
四、自測清單
- 能寫出 f′(x) 與駐點條件
- 能說明駐點唯一
- 能用 e^(x₀)=2 代回降次
- 能不靠近似值定符號
- 能算 f(2) 與粗估偏低
- 能說明取位誤差為何不影響符號
