題目性質：自編仿真題——題目、材料、選項、數據與情境均為按課程標準與聯招常見考點獨立編寫的原創仿真題，非真題原文，未取自任何題庫、教輔或試卷；解析與採分點為教研整理，非官方評分標準。
例題精講 · 數學導數與解三角形
一、考點定位與做題順序
射影定理 a = b cos C + c cos B 是餘弦定理的線性寫法，三式循環成立，最適合拿來當「算完立刻自檢」的工具。 本講把餘弦值、射影和、面積、高串成一條閉合鏈；只要有一處不回到 7.00，就說明中間某步取位或符號出了問題。二、逐題精講
題1
自編示意 △ABC 中 a=7.00、b=5.00、c=8.00。求 cos B、cos C，並用射影定理驗證 a。解析
cos B = (a²+c²−b²)/(2ac) = (49+64−25)/112 = 88/112 = 0.785714；cos C = (a²+b²−c²)/(2ab) = (49+25−64)/70 = 10/70 = 0.142857。 射影 b cos C + c cos B = 5×0.142857 + 8×0.785714 = 0.714286 + 6.285714 = 7.00，恰回到 a。若把 cos B 誤配給 b 邊，射影和會偏離 7.00，可即時報警。答案 cos B=0.785714，cos C=0.142857；射影和 7.00=a，閉合。
採分點 兩餘弦各 3 分；射影式 2 分；回代閉合 2 分。
易錯點 餘弦定理分母要用夾角的兩鄰邊之積的 2 倍，錯用 2ab 求 cos B 會直接破壞閉合。
題2
同三角形，用海倫公式求面積，再用 0.5ac sin B 複核，並求 a 邊上的高。解析
半周長 s=(7+5+8)/2=10.00；海倫 S=√(10×3×5×2)=√300=17.320508。 另一路 sin B=√(1−0.785714²)=0.618590，0.5×7.00×8.00×0.618590=17.320508，與海倫一致，說明餘弦值沒有取位漂移。高 h=2S/a=34.641016/7.00=4.948717。答案 S=17.320508，兩路一致；h=4.948717。
採分點 半周長 1 分；海倫 3 分；正弦面積 3 分；高 2 分；兩路一致性 1 分。
易錯點 把 √300 取成 17.32 後一路回代，另一路用全精度，會出現「看著差不多」卻不是同一個數的假閉合。
三、規律小結與對照表
| 量 | 主路徑 | 獨立複核路徑 | 結果 |
|---|---|---|---|
| cos B | (49+64−25)/112 | 由 sin B 反解 | 0.785714 |
| cos C | (49+25−64)/70 | 由射影式反解 | 0.142857 |
| 射影和 | 5cosC+8cosB | 應回到 a | 7.00 |
| 面積 | √(10×3×5×2) | 0.5×7×8×sin B | 17.320508 |
| a 邊高 | 2S/a | S/(0.5a) | 4.948717 |
解三角形最省時的檢查是「另一條公式再算一遍」：餘弦↔射影、海倫↔正弦面積，兩條路必須給出同一個數而不是相近的數。三邊參數為自編示意。
四、自測清單
- 半周長是否為 10.00
- 餘弦定理分母是否用夾角兩鄰邊
- 射影和是否精確回到 7.00
- 海倫根號內是否為 300
- 正弦面積是否與海倫同值
- sin B 是否由 cos B 精確反解
- 高是否用 2S/a 而非 S/a
- 兩路結果是否寫明「同值」而非「相近」
五、數值回代明細
按題面原始參數逐項重算（構造時另以一條獨立路徑互驗一致）：半周長 = 10；cos B = 0.785714；cos C = 0.142857；射影和 = 7；海倫面積 = 17.320508；a 邊高 = 4.948717。以上數值與本篇解析、答案欄、規律表逐處對應，示意數據在正文另行註明。
六、選題邊界與相鄰板塊
本講只做三邊給定下的閉合互驗；角平分線與 Stewart 定理、阿波羅尼斯圓、極化恆等式、焦點三角形面積屬相鄰板塊，其已知條件不同，不併入本講回代鏈。
本篇角度與全部已發篇目按累計選題臺賬跨批查重，未複用上批情境，也未把一篇拆成兩篇。
