題目性質：自編仿真題——題目、材料、選項、數據與情境均為按課程標準與聯招常見考點獨立編寫的原創仿真題，非真題原文，未取自任何題庫、教輔或試卷；解析與採分點為教研整理，非官方評分標準。
例題精講 · 數學導數與解三角形
一、考點定位與做題順序
含參恆成立最穩的做法是把參數單獨留在一邊：a ≤ g(x) 恆成立等價於 a 不超過 g(x) 在區間上的最小值。 本講把「分離—求最值—端點取等—判別式複核—反例報警」五步走完，特別檢查最小值是否在區間內部取到。二、逐題精講
題1
自編示意：x²−a x+4≥0 對一切 x∈[1,3] 成立，求 a 的最大值。解析
x>0，分離得 a ≤ (x²+4)/x = x+4/x = g(x)。g′(x)=1−4/x²，令其為 0 得 x=2，落在 [1,3] 內；端點 g(1)=5、g(3)=4.333333，駐點 g(2)=4.0000 為最小。 故 a ≤ 4.0000，a 的最大值為 4。若駐點落在區間外，最小值就要改在端點取，本題恰好內點取等。答案 a 的最大值為 4（g 在 x=2 取最小值 4.0000）。
採分點 分離變形 3 分；求導與駐點 2 分；三處函數值 2 分；最小值判定 2 分；結論 1 分。
易錯點 只代兩個端點就下結論，會漏掉 x=2 這個真正的最小點；也別把 a ≤ g 寫成 a ≥ g。
題2
用判別式與一個代入反例驗證 a=4 是邊界，並說明 a=4.5 為何不成立。解析
a=4 時 x²−4x+4=(x−2)²≥0，判別式 16−16=0，恰在 x=2 取等，與最小值口徑一致。 取 a=4.5，代入 x=2 得 4−9+4=−1，負 1 小於 0，恆成立立即被否；這說明邊界再往上一點就會在內點破功，而不是在端點先破。答案 a=4 判別式 0 且 (x−2)²≥0；a=4.5 時 x=2 處為負 1，不成立。
採分點 完全平方 3 分；判別式 2 分；反例代入 3 分；內點先破的說明 2 分。
易錯點 把判別式寫成 b²−4ac 時代錯符號，或用 x=1 去驗 a=4.5（此時仍為正），都會得出錯誤結論。
三、規律小結與對照表
| 檢驗點 | g(x)=x+4/x | x²−a x+4 | 判定 |
|---|---|---|---|
| 端點 x=1 | 5 | 5−a | 非最小 |
| 駐點 x=2 | 4.0000 | 8−2a | 最小，取等 |
| 端點 x=3 | 4.333333 | 13−3a | 非最小 |
| a=4 判別式 | — | 0 | 邊界閉合 |
| a=4.5 代入 x=2 | — | 負 1 | 不成立 |
分離參數後一定要問「最小值在哪一點取到」；判別式與代入反例是兩條獨立的回驗路。函數、區間與參數均為自編示意。
四、自測清單
- 分離時是否保證 x>0
- g′(x) 是否為 1−4/x²
- 駐點 x=2 是否落在 [1,3] 內
- 三個函數值是否都列出
- 最小值是否取 4.0000 而非 5
- a=4 時判別式是否為 0
- a=4.5 是否在 x=2 處為負
- 是否說明內點先破而非端點先破
五、數值回代明細
按題面原始參數逐項重算（構造時另以一條獨立路徑互驗一致）：g(1) = 5；g(2) = 4；g(3) = 4.333333；a=4 時判別式 = 0；a=4.5 時負值的絕對值 = 1；端點與駐點之差 = 1。以上數值與本篇解析、答案欄、規律表逐處對應，示意數據在正文另行註明。
六、選題邊界與相鄰板塊
本講處理恆成立下的參數上界；導數隱零點設而不求、含參三次函數分類、分段函數含參零點與對勾函數單調區間屬相鄰板塊，其邊界條件不同。
本篇角度與全部已發篇目按累計選題臺賬跨批查重，未複用上批情境，也未把一篇拆成兩篇。
