題目性質：自編仿真題——題目、材料、選項、數據與情境均為按課程標準與聯招常見考點獨立編寫的原創仿真題，非真題原文，未取自任何題庫、教輔或試卷；解析與採分點為教研整理，非官方評分標準。
例題精講 · 數學導數與解三角形
一、考點定位與做題順序
圓上動點到直線的最短距離是 |d−r|，但只有當 d>r 時才能寫成 d−r；d<r 時直線已割圓，最短距離是 0。 本講用同一圓心配兩條直線，把相離與相交兩種情形並排放，避免把 d−r 套出負數還照抄。二、逐題精講
題1
自編示意圓 (x−1)²+(y−2)²=4，直線 l₁: 3x+4y−24=0。求圓心到 l₁ 的距離，判斷位置關係，並求圓上點到 l₁ 的最短與最遠距離。解析
圓心 C(1,2)，r=2.00。d=|3×1+4×2−24|/√(3²+4²)=|−13|/5=2.600000。 d>r，直線與圓相離，最短 d−r=2.600000−2.00=0.600000，最遠 d+r=4.600000。若把 13 寫成 3+8−12=1，d 會變成 0.200000，結論整體翻轉。答案 d=2.600000，相離；最短 0.600000，最遠 4.600000。
採分點 距離公式 3 分；分子絕對值 2 分；位置關係 2 分；兩距離 3 分。
易錯點 漏掉分母 5 或把絕對值寫成帶符號的負 13，都會讓 d 失真。
題2
把直線改為 l₂: 3x+4y−12=0，求圓心距與弦長；說明為何此時不能再寫 d−r。解析
d₂=|3+8−12|/5=1/5=0.200000，小於 r=2.00，直線割圓，圓上存在落在直線上的點，最短距離為 0。 弦長按垂徑定理 2√(r²−d²)=2√(4−0.04)=3.979950，半弦為 1.989975；若把半弦先取位再乘會得 3.979949，差一位取位。若機械套 d−r 會得負 1.800000，這個負值應當作「已相交、口徑需切換」的報警信號，而不是照抄成距離。答案 d₂=0.200000；弦長 3.979950；此時最短距離為 0，不能寫 d−r。
採分點 圓心距 2 分；相交判定 2 分；垂徑定理 3 分；弦長 2 分；報警口徑 1 分。
易錯點 把弦長寫成 √(r²−d²) 漏乘 2，或把負的 d−r 取絕對值當最短距離，都是典型誤用。
三、規律小結與對照表
| 情形 | 圓心距 | 位置關係 | 結果 |
|---|---|---|---|
| l₁ 相離 | 2.600000 | d>r | 最短 0.600000 |
| l₁ 最遠 | 2.600000 | d+r | 4.600000 |
| l₂ 相交 | 0.200000 | d<r | 最短 0 |
| l₂ 半弦 | √(4−0.04) | 垂徑 | 1.989975 |
| l₂ 弦長 | 2×半弦 | 垂徑 | 3.979950 |
| 報警量 | d₂−r | 負 1.800000 | 口徑切換 |
求最短距離前先判 d 與 r 的大小；出現負的 d−r 不是算錯，是提醒改用相交口徑。圓與直線參數均為自編示意。
四、自測清單
- 圓心是否取 (1,2)
- 距離公式分母是否為 5
- 分子是否取絕對值
- d₁ 是否大於 r
- 最短與最遠是否分別用 d−r 與 d+r
- d₂ 是否小於 r
- 弦長是否乘 2
- 是否說明負值觸發口徑切換
五、數值回代明細
按題面原始參數逐項重算（構造時另以一條獨立路徑互驗一致）：圓心距 l1 = 2.6；最短距離 l1 = 0.6；最遠距離 l1 = 4.6；圓心距 l2 = 0.2；半弦長 = 1.989975；弦長 = 3.97995。以上數值與本篇解析、答案欄、規律表逐處對應，示意數據在正文另行註明。
六、選題邊界與相鄰板塊
本講只處理點到直線距離與直線和圓的位置關係；直線與圓的最值、拋物線焦點弦、阿波羅尼斯圓與射影定理三式互驗屬相鄰板塊，其條件不同。
本篇角度與全部已發篇目按累計選題臺賬跨批查重，未複用上批情境，也未把一篇拆成兩篇。
