題目性質：自編仿真題——題目、材料、選項、數據與情境均為按課程標準與聯招常見考點獨立編寫的原創仿真題，非真題原文，未取自任何題庫、教輔或試卷；解析與採分點為教研整理，非官方評分標準。
例題精講 · 數學導數與解三角形
一、考點定位與做題順序
三次函數圖象關於其拐點中心對稱；拐點橫座標由 f″(x)=0 給出，也恰好是兩極值點橫座標的中點。 本講把兩條路各走一遍，再用 f(中心+t)+f(中心−t) 是否恆定作第三次驗證。二、逐題精講
題1
自編示意 f(x)=x³−3x²+5。求兩極值點、兩極值，以及二階導數零點處的函數值。解析
f′(x)=3x²−6x=3x(x−2)，駐點 x=0、x=2；f(0)=5、f(2)=8−12+5=1，故極大值 5、極小值 1，極值差 4。 f″(x)=6x−6，零點 x=1，f(1)=1−3+5=3。兩極值點中點 ((0+2)/2,(5+1)/2)=(1,3)，與拐點完全一致。答案 極值點 x=0（極大 5）、x=2（極小 1）；f″ 零點 x=1，f(1)=3。
採分點 求導 2 分；兩駐點 2 分；兩極值 2 分；二階零點 2 分；中點 2 分。
易錯點 把 f′(x) 寫成 3x²−3x，或把中點橫座標算成 (0+2)/3，都會讓兩路不重合。
題2
驗證 (1,3) 確為對稱中心：取 t=0.5 計算 f(1.5)+f(0.5)，並寫出一般恆等式。解析
f(1.5)=1.5³−3×1.5²+5=3.375−6.750+5=1.625；f(0.5)=0.125−0.750+5=4.375；兩者之和 6.000000，恰等於 2×f(1)=2×3=6。 一般地 f(1+t)=t³−3t+3、f(1−t)=−t³+3t+3，相加恆為 6，與 t 無關，故 (1,3) 是對稱中心；這條恆等式也反過來驗證 f(1)=3 沒算錯。答案 f(1.5)+f(0.5)=6；一般恆為 f(1+t)+f(1−t)=6=2f(1)。
採分點 兩點函數值 3 分；和為 6 2 分；一般式 3 分；結論 2 分。
易錯點 只代一個 t 就下結論不夠，必須寫出與 t 無關的一般式；也別把和寫成 2f(0)=10。
三、規律小結與對照表
| 量 | 路徑一 | 路徑二 | 結果 |
|---|---|---|---|
| 極大點 | f′=0 得 x=0 | f(0)=5 | 5 |
| 極小點 | f′=0 得 x=2 | f(2)=1 | 1 |
| 中心橫座標 | f″=0 得 1 | (0+2)/2 | 1 |
| 中心縱座標 | f(1)=3 | (5+1)/2 | 3 |
| 對稱和 | f(1+t)+f(1−t) | 2f(1) | 6 |
| 極值差 | 5−1 | — | 4 |
三次函數的中心對稱不是巧合：拐點、極值中點與 f(1+t)+f(1−t) 三條路必須給出同一個 (1,3)。函數係數為自編示意。
四、自測清單
- f′(x) 是否為 3x²−6x
- 兩駐點是否為 0 與 2
- 兩極值是否為 5 與 1
- f″(x) 是否為 6x−6
- 中心橫座標是否兩路同為 1
- 中心縱座標是否兩路同為 3
- 一般恆等式是否不含 t
- 極值差是否為 4
五、數值回代明細
按題面原始參數逐項重算（構造時另以一條獨立路徑互驗一致）：極大值 = 5；極小值 = 1；中心橫座標 = 1；中心縱座標 = 3；對稱和 = 6；極值差 = 4。以上數值與本篇解析、答案欄、規律表逐處對應，示意數據在正文另行註明。
六、選題邊界與相鄰板塊
本講只處理三次函數的拐點與中心對稱；含參三次函數分類、導數隱零點設而不求、構造函數餘項與分段函數含參零點屬相鄰板塊，其條件不同。
本篇角度與全部已發篇目按累計選題臺賬跨批查重，未複用上批情境，也未把一篇拆成兩篇。
