題目性質：自編仿真題——題目、材料、選項、數據與情境均為按課程標準與聯招常見考點獨立編寫的原創仿真題，非真題原文，未取自任何題庫、教輔或試卷；解析與採分點為教研整理，非官方評分標準。
例題精講 · 數學導數與解三角形
一、考點定位與做題順序
由 S_n 求 a_n 的標準動作是「n≥2 用差、n=1 用 S₁」，最後一定要把 n=1 代回差式看是否吻合。 本講先算一個恰好吻合的例子，再給一個常數項不為零的反例，把「什麼時候要分段」說清楚。二、逐題精講
題1
自編示意數列前 n 項和 S_n=2n²+3n。求 a₁、a_n（n≥2）、a₅ 與 S₅，並檢驗 n=1 是否吻合。解析
a₁=S₁=2×1+3×1=5。n≥2 時 a_n=S(n)−S(n−1)=(2n²+3n)−(2(n−1)²+3(n−1))=4n+1。 把 n=1 代回 4n+1 得 5，與 S₁ 一致，故可合併寫成 a_n=4n+1。a₅=4×5+1=21，S₅=2×25+15=65；按等差求和 5×(5+21)/2=65，兩路閉合。答案 a₁=5；a_n=4n+1；a₅=21；S₅=65；n=1 吻合，無需分段。
採分點 S₁ 2 分；作差化簡 3 分；n=1 檢驗 2 分；a₅ 與 S₅ 各 1 分；等差互驗 1 分。
易錯點 直接寫 a_n=S(n)−S(n−1) 而不驗 n=1，遇到常數項不為零的和式就會漏掉分段。
題2
若把題設改成 S_n=2n²+3n+1，通項還寫成 4n+1 嗎？應如何表達？解析
此時 S₁=2+3+1=6，而 4×1+1=5，兩者不等，說明差式在 n=1 失效。 正確寫法是分段：a₁=6，n≥2 時 a_n=4n+1。因為常數項隻影響第一項，從第二項起差分結果不變；這也解釋了為什麼「驗 n=1」不能省。答案 不能；須寫成 a₁=6，n≥2 時 a_n=4n+1。
採分點 S₁ 改值 2 分；不一致的判定 3 分；分段表達 3 分；常數項隻影響首項 2 分。
易錯點 把分段寫成「n>1 時 4n+1，n=1 時也 4n+1 再加 1」，看似補了差，實則仍沒寫清定義域。
三、規律小結與對照表
| 量 | 由 S_n 作差 | 獨立複核 | 結果 |
|---|---|---|---|
| a₁ | S₁ | 差式代 n=1 | 5 |
| a_n（n≥2） | S(n)−S(n−1) | 4n+1 | 通項 |
| a₅ | 4×5+1 | S₅−S₄ | 21 |
| S₅ | 2×25+15 | 5×(5+21)/2 | 65 |
| 反例 S₁ | 2+3+1 | 差式給 5 | 6，須分段 |
| a₁₀ | 4×10+1 | S₁₀−S₉ | 41 |
通項題的分水嶺是 n=1：吻合就合併，不吻合就分段。和式、各項數值與反例均為自編示意。
四、自測清單
- 是否先算 S₁
- 作差時 S(n−1) 是否整體代入
- n=1 是否代回差式檢驗
- a₅ 是否用通項求
- S₅ 是否兩路互驗
- 等差求和是否用 5×(5+21)/2
- 反例是否給出分段寫法
- 是否說明常數項隻影響首項
五、數值回代明細
按題面原始參數逐項重算（構造時另以一條獨立路徑互驗一致）：S1 = 5；a5 = 21；S5 = 65；a10 = 41；反例 S1 = 6；反例首項差值 = 1。以上數值與本篇解析、答案欄、規律表逐處對應，示意數據在正文另行註明。
六、選題邊界與相鄰板塊
本講只處理由 S_n 求 a_n 與首項檢驗；裂項與錯位相減、遞推數列求通項、歸納法證明與分組分配屬相鄰板塊，其求和方法不同。
本篇角度與全部已發篇目按累計選題臺賬跨批查重，未複用上批情境，也未把一篇拆成兩篇。
