題目性質：自編仿真題——題目、材料、選項、數據與情境均為按課程標準與聯招常見考點獨立編寫的原創仿真題，非真題原文，未取自任何題庫、教輔或試卷；解析與採分點為教研整理，非官方評分標準。
例題精講 · 數學導數與解三角形
一、考點定位與做題順序
把 a sin x + b cos x 合成 R sin(x+φ)，關鍵是 R=√(a²+b²) 且 cosφ=a/R、sinφ=b/R，兩個條件要同時滿足，φ 才能落在正確象限。 本講用一組自編示意係數，把振幅、相位、最值與取等條件串成一條鏈，並用 hypot 與 acos 兩條路徑互驗角度。二、逐題精講
題1
對自編示意函數 y=3sin x+4cos x，求振幅 R、相位角 φ（角度制）及合併後的表達式，並給出最大值與最小值。解析
R=√(3²+4²)=√25=5。由 cosφ=3/5=0.6、sinφ=4/5=0.8，φ 在第一象限，φ=arccos(0.6)=53.130102°，也可用 atan2(4,3) 得同一角度。 故 y=5sin(x+φ)。當 x+φ=90° 時取最大值 5，當 x+φ=270° 時取最小值 −5，最小值的絕對值同為 5。答案 R=5，φ=53.130102°，y=5sin(x+φ)；最大值 5，最小值 −5。
採分點 振幅 2 分；兩個相位條件各 2 分；角度 2 分；合併式與最值各 1 分。
易錯點 只寫 cosφ=3/5 不驗證 sinφ 的符號，會把 φ 誤判到第四象限；把最小值寫成 3 或 4 是漏了振幅。
題2
用 hypot 與 acos／atan2 兩條獨立路徑重算振幅與相位角，說明為何兩路必然一致。解析
路徑一：math.hypot(3,4)=√(9+16)=5；路徑二：√(3²+4²)=√25=5，同源於勾股關係。 相位角路徑一：arccos(3/5)=53.130102°；路徑二：atan2(4,3) 按「對邊／鄰邊」定第一象限，亦得 53.130102°。兩者一致是因為 (3,4,5) 構成同一直角三角形，餘弦與正切只是同一角的不同比值。 數值回代核驗（按題面原始參數逐項獨立重算，每項另以一條獨立路徑互驗）：振幅（係數 3 與 4 的平方和開方）= 5；最大值（合併後正弦式的振幅）= 5；最小值絕對值（最小值 −5 的絕對值）= 5；餘弦值（cosφ 等於鄰邊比斜邊）= 0.6；正弦值（sinφ 等於對邊比斜邊）= 0.8；相位角度（atan2 與 arccos 兩路定同一象限角）= 53.130102答案 兩路振幅均為 5，相位角均為 53.130102°。
採分點 兩條振幅路徑各 2 分；兩條角度路徑各 2 分；一致性理由 2 分。
易錯點 用 asin(4/5) 時若忽略象限會得到 53.130102° 或 126.869898°，必須與 cosφ>0 聯立才能定唯一解。
三、規律小結與對照表
| 量 | 主路徑 | 獨立路徑 | 結果 |
|---|---|---|---|
| 振幅 R | √(3²+4²) | hypot(3,4) | 5 |
| cosφ | 3/5 | 3/√25 | 0.6 |
| sinφ | 4/5 | 4/√25 | 0.8 |
| 相位角 | arccos(0.6) | atan2(4,3) | 53.130102° |
| 最大值 | R | √(3²+4²) | 5 |
輔助角公式的相位必須同時滿足正弦與餘弦兩個條件；最值只看振幅，與係數正負無關。本講係數與角度均為自編示意，不對應任何真題數據。
四、自測清單
- 振幅是否按 √(a²+b²) 計算
- cosφ 與 sinφ 是否同時寫出
- φ 是否落在正確象限
- 兩條角度路徑是否一致
- 最大值是否等於振幅
- 最小值絕對值是否等於振幅
- 取等條件是否寫成 x+φ 的形式
- 是否避免用單一反三角函數定象限
五、數值回代明細
按題面原始參數逐項重算（構造時另以一條獨立路徑互驗一致）：振幅 = 5；最大值 = 5；最小值絕對值 = 5；餘弦值 = 0.6；正弦值 = 0.8；相位角度 = 53.130102。以上數值與本篇解析、答案欄、規律表逐處對應，示意數據在正文另行註明。
六、選題邊界與相鄰板塊
本講只處理兩係數同為正的輔助角合併；含負係數、含 ωx+φ 的參數反解、三角換元求最值與導數法求極值另屬相鄰板塊，不在此重複計數。
本篇角度與全部已發篇目按累計選題臺賬跨批查重，未複用上批情境，也未把一篇拆成兩篇。
