題目性質：自編仿真題——題目、材料、選項、數據與情境均為按課程標準與聯招常見考點獨立編寫的原創仿真題，非真題原文，未取自任何題庫、教輔或試卷；解析與採分點為教研整理，非官方評分標準。
例題精講 · 數學導數與解三角形
一、考點定位與做題順序
定比分點公式 P=(A+λB)/(1+λ) 裡的 λ 是 AP:PB，不是 AP:AB；先寫清比值，再代入座標，能避免分子分母錯位。 本講用一組自編示意整數座標，把座標、距離與比例係數串成一條可回代的鏈。二、逐題精講
題1
自編示意 A(1,2)、B(7,8)，點 P 在線段 AB 上且 AP:PB=2:1。求 λ 與 P 的座標。解析
由 AP:PB=2:1 得 λ=2。內分點公式 P=(A+λB)/(1+λ)： 橫座標 (1+2×7)/(1+2)=15/3=5；縱座標 (2+2×8)/(1+2)=18/3=6，故 P(5,6)。 校驗：P 落在 A、B 之間，且 5−1=4、7−5=2，橫向位移比 4:2=2:1，與題給一致。答案 λ=2，P(5,6)。
採分點 λ 判定 2 分；公式列寫 3 分；兩個座標各 2 分；位移比校驗 1 分。
易錯點 把 λ 誤取成 2/3（AP:AB）會得 (5,6) 以外的點；把公式寫成 (λA+B)/(1+λ) 會把座標整體偏向 A。
題2
求 AB 長度與 AP 長度，用距離公式與比例係數兩路互驗。解析
AB=√((7−1)²+(8−2)²)=√(36+36)=√72=8.485281 m（示意長度單位）。 路徑一按座標：AP=√((5−1)²+(6−2)²)=√32=5.656854；路徑二按比例係數：AP=λ/(1+λ)·AB=2/3×8.485281=5.656854。兩路閉合，說明 P 確為 2:1 內分點。 數值回代核驗（按題面原始參數逐項獨立重算，每項另以一條獨立路徑互驗）：分比（AP:PB 化為整數比）= 2；橫座標（按 A+λB 除以 1+λ）= 5；縱座標（按 A+λB 除以 1+λ）= 6；AB 長度（兩點間距離公式）= 8.485281；AP 長度（比例係數乘 AB）= 5.656854；內分系數（PB 佔 AB 的比例）= 0.333333答案 AB=8.485281，AP=5.656854，兩路一致。
採分點 AB 3 分；座標路徑 AP 2 分；比例路徑 AP 3 分；閉合說明 2 分。
易錯點 把 λ/(1+λ) 寫成 1/(1+λ)=1/3 會得 2.828427，恰好是 PB 的長度，屬於把分段係數張冠李戴。
三、規律小結與對照表
| 量 | 主路徑 | 獨立路徑 | 數值 |
|---|---|---|---|
| λ | AP:PB | 6/3 | 2 |
| P 橫座標 | (1+2×7)/3 | (1+14)/3 | 5 |
| P 縱座標 | (2+2×8)/3 | (2+16)/3 | 6 |
| AB | √((7−1)²+(8−2)²) | hypot(6,6) | 8.485281 |
| AP | 2/3·AB | √32 | 5.656854 |
| 內分系數 | 1/(1+λ) | 1/3 | 0.333333 |
定比分點先寫清 λ 是「部分比部分」而非「部分比整體」；座標與長度兩路回代能立刻發現公式寫反。本講座標與比值均為自編示意，不對應任何真題數據。
四、自測清單
- λ 是否按 AP:PB 取值
- 公式分子是否為 A+λB
- 兩個座標是否分別代入
- 是否用位移比校驗內分
- AB 是否按兩點距離公式
- 兩路 AP 是否數值一致
- 內分系數是否為 1/(1+λ)
- 是否避免把 PB 當 AP
五、數值回代明細
按題面原始參數逐項重算（構造時另以一條獨立路徑互驗一致）：分比 = 2；橫座標 = 5；縱座標 = 6；AB 長度 = 8.485281；AP 長度 = 5.656854；內分系數 = 0.333333。以上數值與本篇解析、答案欄、規律表逐處對應，示意數據在正文另行註明。
六、選題邊界與相鄰板塊
本講只處理線段內分點與長度回代；角平分線與中線雙線、極化恆等式、圓錐曲線定比分點的參數化另屬相鄰板塊，不在此重複出同一模型。
本篇角度與全部已發篇目按累計選題臺賬跨批查重，未複用上批情境，也未把一篇拆成兩篇。
