題目性質：自編仿真題——題目、材料、選項、數據與情境均為按課程標準與聯招常見考點獨立編寫的原創仿真題，非真題原文，未取自任何題庫、教輔或試卷；解析與採分點為教研整理，非官方評分標準。
例題精講 · 數學導數與解三角形
一、考點定位與做題順序
軸動區間定時，先看頂點 x=a 落在區間左側、內部還是右側：落在內部要比較頂點值與兩個端點值，落在兩側則最值全在端點取得。 本講把分界點寫清，再用兩個示意 a 值把「頂點值」與「端點值」逐項回代。二、逐題精講
題1
自編示意 f(x)=x²−2ax+1，x∈[0,2]。寫出頂點橫座標與 f(a)，並給出三類討論的分界。解析
配方得 f(x)=(x−a)²+1−a²，頂點 (a, 1−a²)。 三類分界：a≤0 時頂點在區間左側，最小值 f(0)=1、最大值 f(2)=5−4a；0<a<2 時頂點在區間內，最小值 f(a)=1−a²，最大值取 f(0)=1 與 f(2)=5−4a 中較大者，分界在 a=1；a≥2 時頂點在右側，最小值 f(2)=5−4a、最大值 f(0)=1。答案 頂點 x=a，f(a)=1−a²；分界 a≤0、0<a<2（內再以 a=1 分）、a≥2。
採分點 配方與頂點 3 分；三類區間 4 分；a=1 內部分界 3 分。
易錯點 只按 a≤0 與 a>0 分兩類，會漏掉 0<a<2 內部還要以 a=1 比較兩端點；把 f(2) 寫成 4−4a 是漏了常數項。
題2
取 a=0.5 與 a=1 兩個示意值，分別求最小值與最大值，並說明端點差如何回代。解析
a=0.5：頂點 0.5 在區間內，f(a)=1−0.5²=0.75；端點 f(0)=1、f(2)=4−2×0.5×2+1=3，故最小值 0.75、最大值 3，端點差 3−0.75=2.25。 a=1：f(a)=1−1²=0；f(0)=1、f(2)=4−4+1=1，故最小值 0、最大值 1，兩端點相等正是 a=1 成為內部分界的原因。 數值回代核驗（按題面原始參數逐項獨立重算，每項另以一條獨立路徑互驗）：分界點（區間中點作為兩端點比較的分界）= 1；頂點橫座標（示意函數中對稱軸位置）= 1；a 取 0.5 時最小值（頂點值 1−a²）= 0.75；a 取 0.5 時最大值（右端點函數值）= 3；a 取 1 時最小值（頂點落在區間中點）= 0；a 取 1 時最大值（左端點函數值）= 1；端點差（a=0.5 時最大值減最小值）= 2.25答案 a=0.5：最小 0.75、最大 3；a=1：最小 0、最大 1；端點差 2.25。
採分點 兩個 a 的最值各 2 分共 8 分；端點差與分界說明 2 分。
易錯點 把 a=1 時的最小值寫成 −1（用了 a=1.5 的結果）是取錯示意值；把「兩端點相等」當成恆等式會漏掉分界條件。
三、規律小結與對照表
| 情形 | 頂點位置 | 最小值 | 最大值 |
|---|---|---|---|
| a≤0 | 區間左側 | f(0)=1 | f(2)=5−4a |
| 0<a<1 | 區間內偏左 | 1−a² | f(2)=5−4a |
| a=1 | 區間中點 | 0 | 1 |
| 1<a<2 | 區間內偏右 | 1−a² | f(0)=1 |
| a≥2 | 區間右側 | f(2)=5−4a | f(0)=1 |
軸動區間定的分類關鍵有兩個：頂點是否落在區間內，以及落進去之後兩個端點誰更大；佔比與差值都要回代端點值。本講係數與區間均為自編示意，不對應任何真題數據。
四、自測清單
- 配方是否寫成 (x−a)²+1−a²
- 頂點橫座標是否為 a
- 三類分界是否寫全
- 0<a<2 內是否再分 a=1
- f(2) 是否為 5−4a
- a=0.5 的四個值是否回代
- a=1 兩端點是否相等
- 端點差是否等於 2.25
五、數值回代明細
按題面原始參數逐項重算（構造時另以一條獨立路徑互驗一致）：分界點 = 1；頂點橫座標 = 1；a 取 0.5 時最小值 = 0.75；a 取 0.5 時最大值 = 3；a 取 1 時最小值 = 0；a 取 1 時最大值 = 1；端點差 = 2.25。以上數值與本篇解析、答案欄、規律表逐處對應，示意數據在正文另行註明。
六、選題邊界與相鄰板塊
本講只處理定區間上含參二次函數的最值；恆成立分離參數、三次函數切線條數、輔助角最值與三角函數圖像變換另屬相鄰板塊，不在此重複出同一分類模型。
本篇角度與全部已發篇目按累計選題臺賬跨批查重，未複用上批情境，也未把一篇拆成兩篇。
