題目性質：自編仿真題——題目、材料、選項、數據與情境均為按課程標準與聯招常見考點獨立編寫的原創仿真題，非真題原文，未取自任何題庫、教輔或試卷；解析與採分點為教研整理，非官方評分標準。
例題精講 · 數學導數與解三角形
一、考點定位與做題順序
有放回時每次抽取獨立，用二項分佈；無放回時各次不獨立，用超幾何分佈。兩者期望相同，方差差一個有限總體修正係數。 本講用一組自編示意總體數，把兩個概率、兩個方差與修正係數串成一條鏈。二、逐題精講
題1
自編示意 10 件產品中有 3 件次品，從中抽 4 件。分別按有放回（二項）與無放回（超幾何）求恰好 2 件次品的概率與期望。解析
有放回：每次抽到次品概率 p=3/10=0.3，X~B(4,0.3)，P(X=2)=C(4,2)×0.3²×0.7²=6×0.09×0.49=0.2646。 無放回：P(X=2)=C(3,2)C(7,2)/C(10,4)=3×21/210=63/210=0.3。兩者期望都是 E(X)=4×0.3=1.2，因為期望只依賴單次邊際概率。答案 二項 0.2646，超幾何 0.3；期望均為 1.2。
採分點 兩個概率各 3 分；期望 2 分；組合數展開 2 分。
易錯點 把超幾何分母寫成 C(10,2) 會得完全不同的值；把 p 寫成 4/10 是把抽樣數當次品率。
題2
求兩種分佈的方差與有限總體修正係數，並說明方差為何不同。解析
二項方差 D₁=np(1−p)=4×0.3×0.7=0.84；超幾何方差 D₂=np(1−p)×(N−n)/(N−1)=0.84×6/9=0.56。 有限總體修正係數 (N−n)/(N−1)=(10−4)/(10−1)=6/9=0.666667。無放回使各次抽取負相關，極端結果變少，方差被壓低；期望不變、方差變小，正是兩種模型的分界。 數值回代核驗（按題面原始參數逐項獨立重算，每項另以一條獨立路徑互驗）：二項概率（有放回時恰好 2 件次品）= 0.2646；超幾何概率（無放回時恰好 2 件次品）= 0.3；期望（兩種模型共同的期望）= 1.2；二項方差（np 乘 1−p）= 0.84；超幾何方差（二項方差乘有限總體修正）= 0.56；有限總體修正（總體數減抽樣數除總體數減一）= 0.666667答案 D₁=0.84，D₂=0.56，修正係數 0.666667。
採分點 兩個方差各 3 分；修正係數 2 分；負相關解釋 2 分。
易錯點 把修正係數寫成 (N−n)/N=0.6 會得 0.504；把「期望相同」說成「分佈相同」是概念錯誤。
三、規律小結與對照表
| 量 | 二項（有放回） | 超幾何（無放回） | 數值 |
|---|---|---|---|
| P(X=2) | C(4,2)p²(1−p)² | C(3,2)C(7,2)/C(10,4) | 0.2646 / 0.3 |
| E(X) | np | n·K/N | 1.2 |
| D(X) | np(1−p) | np(1−p)(N−n)/(N−1) | 0.84 / 0.56 |
| 修正係數 | 1 | (N−n)/(N−1) | 0.666667 |
| 抽取獨立性 | 獨立 | 負相關 | — |
兩種抽樣模型期望相同、方差不同，差別全在有限總體修正係數；組合數分母要按「從總體取 n 件」寫。本講總體數與抽樣數均為自編示意，不對應任何真題數據。
四、自測清單
- p 是否按 3/10 取值
- 二項概率是否用組合數
- 超幾何分母是否為 C(10,4)
- 兩者期望是否同為 1.2
- 二項方差是否為 np(1−p)
- 修正係數是否為 (N−n)/(N−1)
- 是否說明負相關導致方差變小
- 是否避免把期望相同當分佈相同
五、數值回代明細
按題面原始參數逐項重算（構造時另以一條獨立路徑互驗一致）：二項概率 = 0.2646；超幾何概率 = 0.3；期望 = 1.2；二項方差 = 0.84；超幾何方差 = 0.56；有限總體修正 = 0.666667。以上數值與本篇解析、答案欄、規律表逐處對應，示意數據在正文另行註明。
六、選題邊界與相鄰板塊
本講只處理二項與超幾何的概率、期望與方差對比；條件概率與獨立性、貝葉斯兩階段、K² 列聯表與幾何概型另屬相鄰板塊，不在此重複出同一抽樣模型。
本篇角度與全部已發篇目按累計選題臺賬跨批查重，未複用上批情境，也未把一篇拆成兩篇。
