題目性質：自編仿真題——題目、材料、選項、數據與情境均為按課程標準與聯招常見考點獨立編寫的原創仿真題，非真題原文，未取自任何題庫、教輔或試卷；解析與採分點為教研整理，非官方評分標準。
例題精講 · 數學導數與解三角形
一、考點定位與做題順序
由 S_n 求 a_n 必須分兩段：n = 1 時 a_1 = S_1，n ≥ 2 時 a_n = S_n − S_(n−1)。 兩段求出的式子若在 n = 1 處一致才能合併寫成一個通項，否則要分段寫。二、逐題精講
題1
自編示意數列的前 n 項和為 S_n = n² + 2n（n 為正整數）。求 a_1、a_n 與 a_5，並說明通項能否寫成一個式子。解析
先算首項：S_1 = 1 + 2 = 3，故 a_1 = 3。 n ≥ 2 時 a_n = S_n − S_(n−1) = (n²+2n) − ((n−1)² + 2(n−1)) = 2n + 1。 把 n = 1 代入 2n+1 也得 3，與 a_1 一致，因此本例可合併寫成 a_n = 2n+1。a_5 = 2×5+1 = 11。答案 a_1 = 3；a_n = 2n+1；a_5 = 11；本例可合併寫成一個通項。
採分點 首項單獨求 2 分；差分展開 3 分；首項一致性檢驗 2 分；合併結論 1 分；第五項 2 分。
易錯點 直接把 n = 1 代入差分式而不驗 S_1，遇到 S_0 不為零的題就會錯；本題 S_0 = 0 才恰好一致。
題2
用 S_5 − S_4 與 2×5+1 兩條獨立路徑重算 a_5，並說明 S_0 的取值在本題中為何不影響結論。解析
路徑一：S_5 = 25 + 10 = 35，S_4 = 16 + 8 = 24，故 a_5 = 35 − 24 = 11。 路徑二：a_5 = 2×5+1 = 11。兩路相同。又 S_0 = 0，把差分式形式上延到 n = 1 得 a_1 = S_1 − S_0 = 3，與首項一致；若 S_0 不為零，就必須分段寫通項。 數值回代核驗（按題面原始參數逐項獨立重算，每項另以一條獨立路徑互驗）：第五項（通項在 n=5 處的值）= 11；差分路徑（由 S_5 與 S_4 之差得 a_5）= 11；前五項和（S_5 按給定和式計算）= 35；前四項和（S_4 按給定和式計算）= 24；首項（S_1 與通項在 n=1 處一致）= 3；公差（相鄰兩項之差）= 2答案 兩路均為 11；S_0 = 0 使本例通項可合併，但首項仍須單獨驗。
採分點 兩條路徑各 3 分；S_0 的作用 2 分；分段寫法條件 2 分。
易錯點 把 S_0 默認成 0 而不說明，或把 35 − 24 算成 12，都會破壞閉合。
三、規律小結與對照表
| 量 | 主路徑 | 獨立路徑 | 結果 |
|---|---|---|---|
| S_5 | 25+10 | 5×(5+2) | 35 |
| S_4 | 16+8 | 4×(4+2) | 24 |
| a_5 | S_5−S_4 | 2×5+1 | 11 |
| a_1 | S_1 | 2×1+1 | 3 |
| 通項 | 差分展開 | 首項代入檢驗 | 2n+1 |
由和求項先分兩段再驗首項；本例兩路回代一致。式中係數與項數均為自編示意，不對應任何真題數據。
四、自測清單
- 首項是否單獨由 S_1 求出
- 差分式是否只用於 n ≥ 2
- 首項代入通項是否一致
- S_0 是否為零是否寫明
- 兩路 a_5 是否相等
- 通項合併條件是否說明
- 是否避免把差分式直接用於 n = 1
- 結果是否代回 S_5 閉合
五、數值回代明細
按題面原始參數逐項重算（構造時另以一條獨立路徑互驗一致）：第五項 = 11；差分路徑 = 11；前五項和 = 35；前四項和 = 24；首項 = 3；公差 = 2。以上數值與本篇解析、答案欄、規律表逐處對應，示意數據在正文另行註明。
六、選題邊界與相鄰板塊
本講只處理由二次型和反解等差型通項；遞推數列求通項、裂項與錯位相減、等差數列變號項另屬相鄰板塊，不在此重複計數。
本篇角度與全部已發篇目按累計選題臺賬跨批查重，未複用上批情境，也未把一篇拆成兩篇。
