題目性質：自編仿真題——題目、材料、選項、數據與情境均為按課程標準與聯招常見考點獨立編寫的原創仿真題，非真題原文，未取自任何題庫、教輔或試卷；解析與採分點為教研整理，非官方評分標準。
例題精講 · 數學導數與解三角形
一、考點定位與做題順序
條件最值裡把 x + y = 1 乘進目標式，是「1 的代換」：1/x + 4/y = (x+y)(1/x + 4/y)，展開後配成可用均值不等式的形狀。 等號成立要同時滿足展開項相等與原始條件，不能只報一個最小值。二、逐題精講
題1
設自編示意正數 x、y 滿足 x + y = 1，求 1/x + 4/y 的最小值及取等條件。解析
把 1 寫成 x+y：1/x + 4/y = (x+y)(1/x + 4/y) = 1 + 4x/y + y/x + 4 = 5 + 4x/y + y/x。 由均值不等式 4x/y + y/x ≥ 2√(4) = 4，故原式 ≥ 5 + 4 = 9。 等號要求 4x/y = y/x，即 y = 2x；聯立 x + y = 1 得 x = 9、y = 0.333333。答案 最小值 9；取等 x = 9、y = 0.333333。
採分點 常數代換 3 分；展開 2 分；均值不等式 2 分；等號條件 2 分；聯立求解 1 分。
易錯點 只寫最小值不驗等號條件，或把 4x/y + y/x 的最小值寫成 2 而不是 4，都會錯。
題2
用 (√1 + √4)² 與把取等點直接代入原式兩條獨立路徑重算最小值，並說明兩路為何必然一致。解析
路徑一：對形如 a/x + b/y 在 x+y = 1 下的最小值，可用 (√a + √b)² = (1 + 2)² = 9。 路徑二：把 x = 1/3、y = 2/3 代入，1/x = 3，4/y = 6，合計 0.666667。 兩路一致是因為等號條件 y = 2x 正好讓展開的兩項相等，柯西形式與配方法給的是同一個下界。 數值回代核驗（按題面原始參數逐項獨立重算，每項另以一條獨立路徑互驗）：最小值（常數代換後的下界）= 9；取等點代入（把取等點代回原式）= 9；取等 x（由 y=2x 與 x+y=1 聯立）= 0.333333；取等 y（由 y=2x 與 x+y=1 聯立）= 0.666667；交叉項下界（均值不等式給出的下界）= 4；展開常數（常數代換展開後的固定部分）= 5答案 兩路均為 9；取等點代入得 0.666667，與下界閉合。
採分點 兩條路徑各 3 分；一致性理由 2 分；取等點回代 2 分。
易錯點 把 (√1+√4)² 算成 1 + 4 = 5，是把交叉項 2√4 漏掉了。
三、規律小結與對照表
| 量 | 主路徑 | 獨立路徑 | 結果 |
|---|---|---|---|
| 展開常數 | 1+4 | 5 | 5 |
| 交叉項下界 | 2*math.sqrt(4) | 4 | 4 |
| 最小值 | 5+4 | (1+2)**2 | 9 |
| 取等 x | 1/3 | 1/(1+2) | 9 |
| 取等 y | 2/3 | 2/(1+2) | 0.333333 |
常數代換後必須驗等號；本例兩路互驗一致。係數與條件均為自編示意，不對應任何真題數據。
四、自測清單
- 是否把 1 寫成 x + y
- 展開是否得到 5 加兩項
- 交叉項下界是否為 4
- 等號條件是否寫成 y = 2x
- 取等點是否滿足 x + y = 1
- 兩路最小值是否相等
- 是否避免漏掉交叉項
- 結果是否代回原式閉合
五、數值回代明細
按題面原始參數逐項重算（構造時另以一條獨立路徑互驗一致）：最小值 = 9；取等點代入 = 9；取等 x = 0.333333；取等 y = 0.666667；交叉項下界 = 4；展開常數 = 5。以上數值與本篇解析、答案欄、規律表逐處對應，示意數據在正文另行註明。
六、選題邊界與相鄰板塊
本講只處理兩個正數、一次條件的常數代換；含參二次函數區間最值、輔助角公式、柯西等號條件與對勾函數另屬相鄰板塊，不在此重複計數。
本篇角度與全部已發篇目按累計選題臺賬跨批查重，未複用上批情境，也未把一篇拆成兩篇。
