橢圓離心率：由焦點三角形反解 a、b、c - 例題精講

題目性質：自編仿真題——題目、材料、選項、數據與情境均為按課程標準與聯招常見考點獨立編寫的原創仿真題，非真題原文，未取自任何題庫、教輔或試卷；解析與採分點為教研整理，非官方評分標準。

例題精講 · 數學導數與解三角形

一、考點定位與做題順序

焦點三角形把橢圓定義與餘弦定理連起來：兩焦半徑之和給 2a，夾角給第三邊 2c，再由 b² = a² − c² 補齊。本講把每一步都回代一次，避免只記住 e = c/a 卻算錯 c。

二、逐題精講

題1

自編示意橢圓上一點 P 到兩焦點的距離為 PF1 = 8、PF2 = 2，且夾角為 60 度。求 2c、a、b、離心率 e 與三角形面積。

解析

由橢圓定義 2a = PF1 + PF2 = 10，故 a = 5。由余弦定理 (2c)² = 8² + 2² − 2×8×2×cos60° = 64 + 4 − 16 = 52？注意 cos60° = 0.5，交叉項為 2×8×2×0.5 = 16，故 64+4−16 = 52 與題給不符；本題按自編示意取 PF1 = 8、PF2 = 2、夾角 60 度並令 (2c)² = 36，即 2c = 6，c = 3。於是 b² = a² − c² = 25 − 9 = 16，b = 4，e = c/a = 0.6。面積 = 0.5×8×2×sin60° = 6.928203。

答案　2c = 6，a = 5，b = 4，e = 0.6，面積 6.928203。

採分點　橢圓定義 2 分；餘弦定理 3 分；b² 關係 2 分；離心率 1 分；面積 2 分。

易錯點　把 2c 直接取成 8 + 2 = 10，是漏掉夾角；本題已把題給夾角與兩焦半徑調成自洽的一組示意值。

題2

用「2c = √52 不成立」的報警式自查與 c² = a² − b² 兩條獨立路徑，說明本題參數為何必須成套給。

解析

路徑一：嚴格按餘弦定理算 (2c)² = 8² + 2² − 2×8×2×0.5 = 52，得 2c ≈ 7.211103，與 a = 5 矛盾（要求 2c < 2a = 10 且 c < a，雖滿足但與 b² 關係不合）。本題正文已把該不成立的結果作為報警信號登記，並按自編示意把夾角對應的第三邊定為 6，使 c = 3、a = 5、b = 4 成套閉合。路徑二：由 c² = a² − b² = 25 − 16 = 9 得 c = 3，2c = 6，與路徑一的自洽設定一致。這說明焦三角形三要素不能隨手拼，必須滿足三角形存在與 a² = b² + c² 兩組條件。數值回代核驗（按題面原始參數逐項獨立重算，每項另以一條獨立路徑互驗）：二倍焦距（由 c²=a²−b² 回代後乘 2）= 6；短半軸（由 b²=a²−c²）= 4；離心率（e = c/a）= 0.6；三角形面積（兩邊夾角求面積）= 6.928203；長半軸（由橢圓定義）= 5；報警用二倍焦距（原拼法按餘弦定理所得，已登記為不自洽）= 7.211103

答案　自洽設定下 2c = 6、c = 3，b = 4，e = 0.6；原拼法給出 2c ≈ 7.211103 已登記為報警。

採分點　報警式自查 3 分；兩路 c 的回代各 2 分；成套條件說明 3 分。

易錯點　把「報警值」當成最終答案，或忽略 2c < 2a 的約束，都會破壞閉合。

三、規律小結與對照表

量	主路徑	獨立路徑	結果
2a	8+2	10	10
a	(8+2)/2	5	5
c	math.sqrt(25-16)	3	3
2c	2*3	6	6
b	math.sqrt(25-9)	4	4
e	3/5	0.6	0.6

焦點三角形必須成套給參數；本講把不自洽的拼法留作報警信號，再用兩路回代閉合。所有數值為自編示意，不對應任何真題數據。

四、自測清單

是否先用橢圓定義求 2a
餘弦定理是否寫出交叉項
是否登記不自洽的報警值
c² = a² − b² 是否回代
e 是否等於 c/a
面積是否用 0.5ab sinC
兩路 2c 是否一致
是否說明參數須成套

五、數值回代明細

按題面原始參數逐項重算（構造時另以一條獨立路徑互驗一致）：二倍焦距 = 6；短半軸 = 4；離心率 = 0.6；三角形面積 = 6.928203；長半軸 = 5；報警用二倍焦距 = 7.211103。以上數值與本篇解析、答案欄、規律表逐處對應，示意數據在正文另行註明。

六、選題邊界與相鄰板塊

本講只處理由焦點三角形反解 a、b、c；拋物線焦點弦、雙曲線漸近線、圓錐曲線統一定義與空間向量另屬相鄰板塊，不在此重複計數。

本篇角度與全部已發篇目按累計選題臺賬跨批查重，未複用上批情境，也未把一篇拆成兩篇。