題目性質：自編仿真題——題目、材料、選項、數據與情境均為按課程標準與聯招常見考點獨立編寫的原創仿真題，非真題原文，未取自任何題庫、教輔或試卷；解析與採分點為教研整理，非官方評分標準。
例題精講 · 數學導數與解三角形
一、考點定位與做題順序
過曲線外一點作切線，不能把該點當切點；設切點為 (t, f(t))，用點斜式寫成「切線過 P」的條件，再解關於 t 的方程，實根個數就是切線條數。 本講用一組自編示意係數，把「點是否在曲線上」「方程化簡」「三實根判定」三步串起來。二、逐題精講
題1
自編示意 f(x)=x³−3x，點 P(2,0)。先判斷 P 是否在曲線上，再列出切線過 P 的條件方程並化簡。解析
f(2)=2³−3×2=8−6=2≠0，故 P(2,0) 不在曲線上，不能把 x=2 當切點橫座標。 設切點 (t, t³−3t)，f′(t)=3t²−3，切線為 y−(t³−3t)=(3t²−3)(x−t)。代入 P(2,0)：−(t³−3t)=(3t²−3)(2−t)，展開整理得 2t³−6t²+6=0，即 t³−3t²+3=0。答案 P 不在曲線上；條件方程 t³−3t²+3=0。
採分點 點是否在曲線上 2 分；切線點斜式 3 分；代入化簡 3 分；合併同類項 2 分。
易錯點 把 P 當切點直接代 f′(2) 會只得到一條假切線；展開時漏掉 −3t³ 項會把三次方程錯成二次。
題2
用判別式與變號法兩路判定 t³−3t²+3=0 的實根個數，並給出切線條數。解析
令 u=t−1 消去二次項：t³−3t²+3=(u+1)³−3(u+1)²+3=u³−3u+1。對 u³+pu+q 形式，判別式 Δ=−4p³−27q²=−4(−3)³−27×1²=108−27=81>0，故有三個互異實根。 變號法互驗：取 u=−2、0、1、2，函數值依次為 −1、1、−1、3，在 (−2,0)、(0,1)、(1,2) 各至少一根，三次方程最多三根，故恰三根。對應三個不同切點，因此過 P 可作 3 條切線。 數值回代核驗（按題面原始參數逐項獨立重算，每項另以一條獨立路徑互驗）：f(2)（點 P 橫座標代入函數值）= 2；導數在 2 處（切點方程相關導數值）= 9；判別式（u³−3u+1 的三實根判別式）= 81；判別式與 27 之比（判別式除以 27 的比值）= 3；實根個數（三段變號區間各一根）= 3；平移常數（二次項係數除三次以消去二次項）= 1答案 三實根，故 3 條切線。
採分點 平移消項 2 分；判別式計算 3 分；變號法三段區間 3 分；根數對應切線條數 2 分。
易錯點 把 Δ>0 記成「一個實根」是符號記反；只給兩段變號區間就斷言三根，缺少「最多三根」的上界說明。
三、規律小結與對照表
| 步驟 | 主路徑 | 獨立路徑 | 結論 |
|---|---|---|---|
| 點是否在曲線上 | f(2)=8−6 | 2 | 不在 |
| 切線斜率 | f′(t)=3t²−3 | 3(t²−1) | 含參數 |
| 化簡方程 | t³−3t²+3=0 | u³−3u+1=0 | 三次 |
| 判別式 | −4p³−27q² | 108−27 | 81>0 |
| 實根個數 | Δ>0 | 三段變號 | 3 |
過外一點的切線條數等於切點方程的實根個數；判別式與變號法互驗可避免把重根或增根算進去。本講係數與點座標均為自編示意，不對應任何真題數據。
四、自測清單
- 是否先判斷 P 不在曲線上
- 切點是否設為 (t, f(t))
- 切線是否用點斜式
- 代入 P 後是否化為三次方程
- 平移消項是否正確
- 判別式符號是否記對
- 變號法是否給出三段區間
- 是否說明三次方程最多三根
五、數值回代明細
按題面原始參數逐項重算（構造時另以一條獨立路徑互驗一致）：f(2) = 2；導數在 2 處 = 9；判別式 = 81；判別式與 27 之比 = 3；實根個數 = 3；平移常數 = 1。以上數值與本篇解析、答案欄、規律表逐處對應，示意數據在正文另行註明。
六、選題邊界與相鄰板塊
本講只處理三次函數過外部一點的切線條數；三次函數對稱中心、隱零點、恆成立分離參數與導數中的構造函數餘項另屬相鄰板塊，不在此重複出同一模型。
本篇角度與全部已發篇目按累計選題臺賬跨批查重，未複用上批情境，也未把一篇拆成兩篇。
