聯招數學·二項分佈與超幾何分佈：期望相同，方差差一個校正因子

題目性質：自編仿真題——題目、材料、選項、數據與情境均為按課程標準與聯招常見考點獨立編寫的原創仿真題，非真題原文，未取自任何題庫、教輔或試卷；解析與採分點為教研整理，非官方評分標準。

一、考點定位與做題順序

有放回抽 n 次是二項 B(n, p)，無放回抽 n 次是超幾何。兩者期望都是 np，方差只差一個有限總體校正因子 (N−n)/(N−1)：Var超 = np(1−p)·(N−n)/(N−1)。因子小於 1，所以無放回的方差更小。

自編示意：總體 N = 20 件，其中 M = 8 件次品，p = M/N = 0.4，抽取 n = 5 件；參數為示意取數。

二、逐題精講

題1

題1　求兩種模型的期望、方差與方差比。

解析

E = np = 5×0.4 = 2.0，兩種模型相同。Var二項 = np(1−p) = 5×0.4×0.6 = 1.20。

有限總體校正因子 (N−n)/(N−1) = 15/19 = 0.7895，Var超幾何 = 1.20×15/19 = 0.9474。方差比按題面原始參數回代為 1.20/(1.20×15/19) = 19/15 = 1.2667，即二項模型比無放回高約四分之一。

答案　E=2.0；Var二項=1.20、Var超幾何=0.9474；校正因子 0.7895，方差比 1.2667。

採分點　期望 1 分、二項方差 1 分、校正因子 2 分、超幾何方差 1 分、方差比 1 分。

易錯點　把校正因子寫成 (N−n)/N，或以為兩種模型方差也相同。

題2

題2　若把校正因子誤寫成 (N−n)/N = 0.75，方差與方差比各偏差多少？

解析

誤寫後 Var = 1.20×0.75 = 0.90，方差比 1.20/0.90 = 1.3333，比正確的 1.2667 偏高 5.3%。

錯因是分母用了 N = 20 而不是 N − 1 = 19。校驗辦法：因子必須寫成 (N−n)/(N−1)，當 n = 1 時因子為 (N−1)/(N−1) = 1，單次抽取兩者方差本應相同；用 0.75 的寫法在 n=1 時會得 19/20，與這條邊界不符。

答案　誤寫得 0.90、比值 1.3333，偏高 5.3%；用 n=1 邊界可攔下。

採分點　錯法方差 1 分、錯法比值 1 分、偏高 1 分、分母錯因 1 分、邊界校驗 2 分。

易錯點　只報 0.90 不檢查 n=1 時因子是否該等於 1。

三、規律小結與對照表

小結：兩模型期望相同，方差差 (N−n)/(N−1)；用 n=1 因子必為 1 作邊界校驗最省事。

四、自測清單

• 能寫出兩個模型的期望
• 能算二項方差
• 能寫出有限總體校正因子
• 能算超幾何方差與方差比
• 能用 n=1 邊界攔錯
• 能算誤寫後的偏高