題目性質：自編仿真題——題目、材料、選項、數據與情境均為按課程標準與聯招常見考點獨立編寫的原創仿真題，非真題原文，未取自任何題庫、教輔或試卷；解析與採分點為教研整理，非官方評分標準。
一、考點定位與做題順序
焦點三角形把定義、餘弦定理、面積公式串在一起：|PF₁| + |PF₂| = 2a 給和，餘弦定理給 |F₁F₂|² = (2c)²，兩式聯立能解出 mn，再用 ½mn sinθ 求面積；另有捷徑 S = b²·tan(θ/2)。兩法互驗最穩。
取自編示意橢圓 x²/25 + y²/9 = 1，a = 5、b = 3、c = 4、e = 0.8，∠F₁PF₂ = 60°；參數為示意取數。
二、逐題精講
題1
題1 用兩法求焦點三角形面積並互驗。
解析
法一：S = b²·tan(θ/2) = 9·tan30° = 9/√3 = 3√3 = 5.196。
法二：設 m = |PF₁|、n = |PF₂|，m + n = 2a = 10，(m+n)² = 100。餘弦定理 m² + n² − mn = (2c)² = 64。兩式相減得 3mn = 36，mn = 12，故 S = ½·12·sin60° = 5.196，與法一閉合。
答案 S=5.196；兩法分別由 b²tan(θ/2) 與 mn=12 的 ½mn sinθ 得到。
採分點 法一 2 分、和式 1 分、餘弦定理 1 分、mn 1 分、法二與互驗 1 分。
易錯點 把 |F₁F₂| 寫成 c 而非 2c，或把 60° 的餘弦寫成 1/2 卻漏掉係數 2。
題2
題2 求離心率；若把 c 誤算成 √(a²+b²)，會出什麼報警？
解析
正確 c = √(a²−b²) = √(25−9) = 4，e = c/a = 4/5 = 0.8，滿足 0 < e < 1。
誤取 c′ = √(a²+b²) = √34 = 5.831，則 e′ = 5.831/5 = 1.166，已大於 1，超出橢圓離心率範圍，比正確值偏高 45.8%。e > 1 本身就是最直接的報警信號，不必等答案對不上才發現。
答案 e=0.8；誤算得 e′=1.166、偏高 45.8%，e>1 越界即報警。
採分點 c 與 e 各 1 分、誤算 c′ 1 分、e′ 1 分、偏高 1 分、越界報警 1 分。
易錯點 把橢圓的 c²=a²−b² 記成雙曲線的 c²=a²+b²。
三、規律小結與對照表
| 量 | 正確表達式 | 本題值 | 誤算值 |
|---|---|---|---|
| c | √(a²−b²) | 4 | 5.831 |
| e | c/a | 0.8 | 1.166 |
| mn | 由兩式相減 | 12 | — |
| S | b²tan(θ/2) | 5.196 | — |
小結：焦點三角形用「和 + 餘弦定理」解 mn，再用 b²tan(θ/2) 互驗；e>1 是橢圓題的即時報警。
四、自測清單
- 能寫出 2a 與 2c
- 能用餘弦定理聯立求 mn
- 能用兩法互驗面積
- 能正確算 c 與 e
- 能識別 e>1 的越界報警
- 能算誤算後的偏高
