聯招物理·最小二乘斜率與 3σ 剔除：一個異常點能抬多少斜率

題目性質：自編仿真題——題目、材料、選項、數據與情境均為按課程標準與聯招常見考點獨立編寫的原創仿真題，非真題原文，未取自任何題庫、教輔或試卷；解析與採分點為教研整理，非官方評分標準。

一、考點定位與做題順序

最小二乘斜率 k = (Σxy − n·x̄·ȳ)/Σ(x−x̄)²。異常點會把斜率整體抬高，判它該不該剔，不能憑「看著不順眼」，要用剩餘點的殘差標準差 σ 與 3σ 比較：殘差超過 3σ 才剔。

自編示意 6 組數據：(1, 2.10)、(2, 3.95)、(3, 6.20)、(4, 7.85)、(5, 10.05)、(6, 14.90)，末點為示意異常值。數據為自編示意，不代表真實測量。

二、逐題精講

題1

題1　求全 6 點的最小二乘斜率、截距與末點殘差。

解析

Σx = 21、x̄ = 3.5；Σy = 45.05、ȳ = 7.5083；Σxy = 199.65；Σ(x−x̄)² = 17.5。分子 = 199.65 − 6×3.5×7.5083 = 41.975，故 k = 41.975/17.5 = 2.3986。

截距 b = ȳ − k·x̄ = 7.5083 − 8.3951 = 負 0.8868。末點預測值 = 2.3986×6 − 0.8868 = 13.505，實測 14.90，殘差 1.395。

答案　k=2.3986、b=負 0.8868；末點殘差 1.395。

採分點　四個求和量 2 分、斜率 2 分、截距 1 分、殘差 1 分。

易錯點　把 Σxy 直接當分子，漏減 n·x̄·ȳ；或把末點預測值按前 5 點的線算。

題2

題2　剔除末點後重擬合，並用 3σ 判據驗證剔除是否成立。

解析

剩餘 5 點：x̄ = 3、ȳ = 30.15/5 = 6.03，Σxy = 110.25，Σ(x−x̄)² = 10，分子 = 110.25 − 5×3×6.03 = 19.80，故 k′ = 1.98、b′ = 6.03 − 1.98×3 = 0.09。

5 點殘差依次為 0.03、−0.10、0.17、−0.16、0.06，σ = √(0.069/3) = 0.1517，3σ = 0.455。末點殘差 1.395 > 0.455，剔除成立。全擬合斜率 2.3986 比 1.98 偏高 21.1%，可見一個異常點足以把結論帶偏。

答案　k′=1.98、b′=0.09；σ=0.1517、3σ=0.455，1.395>0.455 剔除成立，原斜率偏高 21.1%。

採分點　5 點重擬合 2 分、殘差與 σ 2 分、3σ 判據 1 分、偏高 1 分。

易錯點　用全 6 點的殘差算 σ，把判據放寬到剔不掉異常點。

三、規律小結與對照表

小結：先全擬合、再算殘差、後用剩餘點的 3σ 判據；異常點能把斜率抬高兩成，剔前必須留痕。

四、自測清單

• 能寫出最小二乘斜率公式
• 能算全 6 點的 k 與 b
• 能算末點殘差
• 能重擬合 5 點
• 能由殘差求 σ 與 3σ
• 能算異常點造成的偏高