題目性質：自編仿真題——題目、材料、選項、數據與情境均為按課程標準與聯招常見考點獨立編寫的原創仿真題，非真題原文，未取自任何題庫、教輔或試卷；解析與採分點為教研整理，非官方評分標準。
一、考點定位與做題順序
兩點距離比為非 1 常數時，動點軌跡是圓（阿波羅尼斯圓）。做法是把 |PA| = k|PB| 兩邊平方，展開後按 x、y 配方；比值 k=1 時退化為中垂線，是唯一要單列的情形。
取自編示意 A(−3, 0)、B(3, 0)、k = |PA|/|PB| = 2；座標與比值為示意取數。
二、逐題精講
題1
題1 求軌跡方程、圓心、半徑與面積。
解析
設 P(x, y)，由 (x+3)² + y² = 4[(x−3)² + y²]，展開得 x² + 6x + 9 + y² = 4x² − 24x + 36 + 4y²，移項得 3x² − 30x + 3y² + 27 = 0，除以 3 得 x² − 10x + y² + 9 = 0。
配方為 (x − 5)² + y² = 16，圓心 (5, 0)、半徑 4，面積 π·4² = 16π = 50.27。圓心到 A 的距離為 5 − (−3) = 8。
答案 (x−5)²+y²=16；圓心 (5,0)、半徑 4；面積 16π=50.27；圓心到 A 距離 8。
採分點 平方展開 2 分、化簡配方 2 分、圓心半徑 1 分、面積 1 分、心 A 距離 1 分。
易錯點 忘記兩邊平方時 k 要平方成 4，或配方時常數項搬錯符號。
題2
題2 求圓上點到 A 的最近與最遠距離，並驗證比值仍為 2。
解析
圓心 (5,0) 到 A(−3,0) 距離 8，半徑 4，故最近 8 − 4 = 4（點 (1,0)），最遠 8 + 4 = 12（點 (9,0)），兩者之比 12/4 = 3.0。
回代驗證：P=(1,0) 時 |PA|=4、|PB|=2，比值 2；P=(9,0) 時 |PA|=12、|PB|=6，比值仍為 2。注意「到 A 的最遠／最近比 3.0」與「|PA|/|PB| = 2」是兩個不同比值，不能互相套用。
答案 最近 4、最遠 12，比 3.0；兩點回代 |PA|/|PB| 均為 2。
採分點 最近距離 1 分、最遠距離 1 分、比值 2 分、兩點回代 1 分、口徑區分 1 分。
易錯點 把「到 A 的最遠比 3.0」當成軌跡的定值比 2。
三、規律小結與對照表
| 量 | 求法 | 本題值 | 備註 |
|---|---|---|---|
| 軌跡方程 | 平方展開後配方 | (x−5)²+y²=16 | k=2 |
| 圓心 / 半徑 | 配方讀數 | (5,0) / 4 | k=1 時退化為中垂線 |
| 面積 | πr² | 16π=50.27 | 取兩位小數 |
| 到 A 最近 / 最遠 | 心 A 距 ± r | 4 / 12 | 比 3.0 |
小結：距離比先平方再配方；k=1 單列中垂線。「到定點的最遠比」與「軌跡定值比」是兩個口徑，回代時分開報。
四、自測清單
- 能寫出平方後的方程
- 能正確配方得圓心半徑
- 能算圓面積
- 能求到定點最近最遠距離
- 能用兩點回代驗證定值比
- 能區分兩個不同比值
