題目性質：自編仿真題——題目、材料、選項、數據與情境均為按課程標準與聯招常見考點獨立編寫的原創仿真題，非真題原文，未取自任何題庫、教輔或試卷；解析與採分點為教研整理，非官方評分標準。
一、考點定位與做題順序
兩端固定的弦，基頻滿足 f₁ = (1/2L)√(T/μ)，反解就是 μ = T/(2Lf₁)²。分母裡的 2L 來自「基頻時弦長等於半個波長」，漏掉 2 等於把半波長當成全波長。
自編示意：L = 0.8000 m，T = 25.00 N，實測基頻 f₁ = 50.00 Hz；弦與讀數均為自編示意，不代表真實器件記錄。
二、逐題精講
題1
題1 求線密度 μ 與三次諧波頻率，並說明 2L 的來源。
解析
2Lf₁ = 2×0.8000×50.00 = 80.0，(2Lf₁)² = 6400。μ = T/(2Lf₁)² = 25.00/6400 = 3.90625×10⁻³ kg/m。三次諧波 f₃ = 3f₁ = 150.0 Hz。2L 的來源是基頻時 L = λ/2，故 λ = 2L，波速 v = λf₁ = 2Lf₁，再由 v = √(T/μ) 得同一式。核對：√(25.00/(3.90625×10⁻³)) = 80.0 m/s，與 2Lf₁ = 80.0 閉合。
答案 μ = 3.90625×10⁻³ kg/m；f₃ = 150.0 Hz。
採分點 公式 1 分、2L 來源 1 分、μ 值 1 分、f₃ 1 分、波速閉合 1 分。
易錯點 把 L 直接當波長，μ 會偏大 4 倍。
題2
題2 若把三次諧波誤當基頻，或漏乘公式裡的 2，μ 分別會變成多少？
解析
誤用 f₃：(2Lf₃)² = 57600，μ′ = 25.00/57600 = 4.3403×10⁻⁴ kg/m，相對正確值偏小 88.89%——頻率放大 3 倍，μ 縮小到 1/9。漏乘 2：μ″ = 25.00/(Lf₁)² = 25.00/1600 = 0.015625 kg/m，是正確值的 4 倍，偏大 300.0%。兩個偏差方向相反、量級也不同，說明它們來自不同環節：前者是諧波級次認錯，後者是波長關係寫錯。正文按兩條分別登記，不合併成一個「修正係數」。
答案 誤用 f₃：4.3403×10⁻⁴ kg/m，偏小 88.89%；漏乘 2：0.015625 kg/m，偏大 300.0%。
採分點 兩種誤算各 1 分、兩個偏差 1 分、方向辨析 1 分、不合並說明 1 分。
易錯點 把 1/9 與 4 倍直接相乘當「綜合修正」，會把兩個不同環節混成一個。
三、規律小結與對照表
| 情形 | 代入頻率 | 分母 | μ/(kg·m⁻¹) |
|---|---|---|---|
| 正確基頻 | 50.00 Hz | (2Lf₁)²=6400 | 3.90625×10⁻³ |
| 誤用三次諧波 | 150.0 Hz | (2Lf₃)²=57600 | 4.3403×10⁻⁴ |
| 漏乘 2 | 50.00 Hz | (Lf₁)²=1600 | 0.015625 |
| 波速核對 | — | 2Lf₁=80.0 m/s | √(T/μ)=80.0 |
| 偏差方向 | — | — | 一偏小、一偏大，分別登記 |
小結：2L 來自半波長；諧波級次與波長關係是兩個獨立環節，偏差分開登記。
四、自測清單
- 能寫出基頻與線密度關係
- 能說明 2L 的來源
- 能由波速閉合回代 μ
- 能求三次諧波頻率
- 能回代兩種誤算的偏差
- 能說明兩偏差不合並
