聯招數學·構造函數證不等式：eˣ ≥ 1+x 與 ln(1+x) ≤ x

題目性質：自編仿真題——題目、材料、選項、數據與情境均為按課程標準與聯招常見考點獨立編寫的原創仿真題，非真題原文，未取自任何題庫、教輔或試卷；解析與採分點為教研整理，非官方評分標準。

一、考點定位與做題順序

證明 f(x) ≥ h(x)，先把差寫成一個函數 g(x) = f(x) − h(x)，再證 g 的最小值不小於零。直接兩邊取對數、或代入幾個數就說「成立」，都不算證明。

自編示意取 x = 0.500 與 x = -1.000 兩處回代；數值按函數式現算，僅作示意核對，不代表某種近似公式的普適誤差。

二、逐題精講

題1

題1　證明 eˣ ≥ 1+x（x ≥ 0），並在 x = 0.500 與 x = -1.000 兩處回代。

解析

令 g(x) = eˣ − 1 − x，則 g′(x) = eˣ − 1。x ≥ 0 時 eˣ ≥ 1，故 g′(x) ≥ 0，g 在 [0, +∞) 單調不減；又 g(0) = 0，所以 g(x) ≥ 0，即 eˣ ≥ 1+x，等號只在 x = 0 取到。數值核對：x = 0.500 時 e⁰·⁵ = 1.648721，1+x = 1.5，差 0.148721；x = -1.000 時 e⁻¹ = 0.367879，1+x = 0，差 0.367879。注意不等式條件寫的是 x ≥ 0，x = -1.000 處差仍為正只是該函數本身的性質，不能拿來把結論擴大到全實數；e = 2.71828 供回代核對。

答案　g′(x)=eˣ−1 ≥ 0 且 g(0)=0，故 eˣ ≥ 1+x；x=0.500 餘項 0.148721，x=-1.000 差 0.367879。

採分點　構造函數 1 分、導數與單調性 1 分、g(0) 1 分、兩點回代各 1 分、條件邊界 1 分。

易錯點　把 x=-1 處也成立當成「條件可放寬到全實數」，是結論外推。

題2

題2　求二階項 x²/2 在 x = 0.500 的值，並與實際餘項比較；再求 ln(1+x) ≤ x 的放縮差與相對誤差。

解析

二階項 = 0.500²/2 = 0.125，實際餘項 0.148721 > 0.125，說明 eˣ 的泰勒展開還有三階及更高項，不能把餘項寫成「恰好等於 x²/2」。另一路：令 h(x) = x − ln(1+x)，h′(x) = x/(1+x) ≥ 0（x ≥ 0）、h(0)=0，故 ln(1+x) ≤ x。x = 0.500 時 ln1.5 = 0.405465，放縮差 = 0.500 − 0.405465 = 0.094535，相對 x 為 18.907%。兩式的餘項都來自同一個「一階近似」，但數值不同，不能互相代用。

答案　二階項 0.125 < 餘項 0.148721；ln1.5=0.405465，放縮差 0.094535，相對 18.907%。

採分點　二階項 1 分、比較結論 1 分、h(x) 構造 1 分、放縮差 1 分、相對誤差 1 分、不可代用說明 1 分。

易錯點　把 0.148721 與 0.094535 混成「同一個餘項」，是兩個函數搞串了。

三、規律小結與對照表

小結：證明靠 g 的單調性與端點值；餘項回代說明一階近似漏了高階項，不能寫成等號。

四、自測清單

• 能構造 g(x) 並求導
• 能用單調性與端點值完成證明
• 能回代 eˣ 的餘項與二階項
• 能構造 h(x)=x−ln(1+x)
• 能算 ln 的放縮差與相對誤差
• 能識別結論外推與餘項混用