聯招數學·正弦定理外接圓半徑與 abc/4R 面積互驗 - 例題精講

編輯整理：中書院

例題精講 · 第 00688 題 · 角取錯時面積可能不變，外接圓半徑一定會變

以自編示意三角形 a=8.00、b=6.00、C=120.0° 為材料，用餘弦定理求 c，再由 c/(2 sin C) 求外接圓半徑，並用 ½ab sin C 與 abc/(4R) 兩路互驗面積。

00688題號全 1000 篇 · 第第115輪 / 第115冊輪

方向數學·導數與解三角形六向之一

題型自編仿真題逐題精講 · 采分點拆解

題目性質：自編仿真題——題目、材料、選項、數據與情境均為按課程標準與聯招常見考點獨立編寫的原創仿真題，非真題原文，未取自任何題庫、教輔或試卷；解析與採分點為教研整理，非官方評分標準。

例題精講 · 數學導數與解三角形

一、考點定位與做題順序

解三角形給兩邊及夾角，第一件事是把第三邊算出來，再談外接圓。題面自編示意：a=8.00、b=6.00、C=120.0°，數值為自擬示意，不代表真實測量。

由余弦定理 c² = a²+b²−2ab cos C = 64+36−2·48·cos 120° = 100+48 = 148，故 c = 12.1655。再由正弦定理 2R = c/sin C，得 R = 7.0238，直徑 2R = 14.0475。

二、逐題精講

題1

題1　求 c、外接圓半徑 R 與三角形面積 S，並用兩種面積公式互驗。

解析

cos 120° = -0.5，所以 c² = 100 - 2·48·(-0.5) = 148，c = 12.1655。sin 120° = √3/2 = 0.8660254，故 R = c/(2 sin C) = 12.1655/1.7320508 = 7.0238。面積一路：S = ½ab sin C = 0.5·48·0.8660254 = 20.7846。另一路：S = abc/(4R) = 8.00·6.00·12.1655/(4·7.0238) = 20.7846。兩路在四位取位內一致，說明 c、R、S 三者閉合。若兩路不等，優先回頭查 c 的餘弦符號。

答案　c = 12.1655；R = 7.0238；S = 20.7846（兩路一致）。

採分點　餘弦定理帶符號 1 分、c 值 1 分、R 值 1 分、兩路面積各 1 分、閉合說明 1 分。

易錯點　把 cos 120° 寫成 +0.5 會得到 c=√52=7.2111，後面全錯。

題2

題2　若把 C 誤讀成 60.0°，其餘條件不變，求誤讀下的 c′、R′，並說明「面積不變」為什麼不能用來發現這個錯誤。

解析

誤讀後 c′² = 100 − 2·48·0.5 = 52，c′ = 7.2111；R′ = c′/(2 sin 60°) = 7.2111/1.7320508 = 4.1633。面積 S′ = ½·48·sin 60° = 20.7846，與正確值完全相同——因為 sin 120° = sin 60°。所以只核對面積會漏掉角度誤讀。真正能檢出的是 c 與 R：R 從 7.0238 降到 4.1633，差 2.8604，相對偏小 40.73%。結論：含 cos 的量（第三邊、外接圓半徑）才是角度取錯的報警量。

答案　c′ = 7.2111；R′ = 4.1633；R 偏小 40.72%；面積不變，不能用作校驗量。

採分點　誤讀 c′ 1 分、R′ 1 分、sin 相等說明 1 分、報警量結論 1 分。

易錯點　看到面積一樣就判定「兩種讀法等價」是最常見的漏檢。