題目性質：自編仿真題——題目、材料、選項、數據與情境均為按課程標準與聯招常見考點獨立編寫的原創仿真題，非真題原文，未取自任何題庫、教輔或試卷；解析與採分點為教研整理，非官方評分標準。
一、考點定位與做題順序
要測對岸兩點之間夠不著的距離，常用一條量得到的基線 AB，在兩端各測一個角。三角形內角和先補出 ∠C，再用正弦定理把兩條夠不著的邊 AC、BC 分別求出來，面積用 ½·AB·AC·sin A 收口。
自編示意：基線 AB=100.0 m，∠A=60°、∠B=45°，兩角均在岸這邊測得。距離與角度均為自編示意，不代表真實測量記錄。
二、逐題精講
題1
題1 求 ∠C、AC、BC 與三角形面積。
解析
∠C = 180° − 60° − 45° = 75.0° = 1.308997 rad。
正弦定理：AC/sin B = AB/sin C，故 AC = 100.0×sin45°/sin75° = 73.2051 m；BC = 100.0×sin60°/sin75° = 89.6575 m。
面積 S = ½·AB·AC·sin A = ½×100.0×73.2051×sin60° = 3169.9 m²。回代核驗：AC/sin45° = 103.5276，BC/sin60° = 103.5276，AB/sin75° = 103.5276，三者相等，正弦定理閉合。
答案 ∠C=75.0°；AC=73.2051 m；BC=89.6575 m；S=3169.9 m²
採分點 第三角 1 分；兩條邊各 2 分；面積 2 分；正弦比回代 2 分；測量鏈說明 1 分
易錯點 把 ∠C 寫成 105°；把 AC 的比寫成 sinC/sinB
題2
題2 若把正弦比寫反，AC 會變成多少？偏大多少？
解析
寫反後 AC' = 100.0×sin75°/sin45° = 136.6025 m，比正確值 73.2051 m 大 86.6%。錯因是把「邊與對角正弦成正比」記成了反比：AC 對的是 ∠B，應該乘 sin B 除 sin C，不是反過來。
量綱也能攔住這個錯：sin75° > sin45°，寫反會讓 AC 比基線還長，而 ∠B=45° 是三角形裡最小的角，它所對的邊 AC 應當最短。本題 73.2051 m < 100.0 m，符合「小角對小邊」。
回代核驗：136.6025/73.2051 = 1.8660，與 (sin75°/sin45°)² 同值；73.2051·sin75°/sin45° 回代仍得 100.0 m = 基線 100.0 m。角度與距離均為自編示意。
答案 寫反給 AC′=136.6025 m，偏大 86.6%；小角對小邊可當場攔住
採分點 誤算值 2 分；偏大百分比 2 分；正弦比方向 2 分；小角對小邊 1 分；基線回代 1 分
易錯點 把 75° 的正弦寫成 sin105° 以外的錯值；不檢查邊長合理性
三、規律小結與對照表
| 量 | 公式 | 本題值 | 說明 |
|---|---|---|---|
| ∠C | 180°−A−B | 75.0° | 自編示意 |
| AC | c·sinB/sinC | 73.2051 m | 對 ∠B |
| BC | c·sinA/sinC | 89.6575 m | 對 ∠A |
| 面積 | ½·c·AC·sinA | 3169.9 m² | 兩路閉合 |
| 寫反 AC | c·sinC/sinB | 136.6025 m | 偏大 86.6% |
小結：先補第三角，再按「邊對對角正弦」兩次用定理。本例 AC=73.2051 m、BC=89.6575 m、面積 3169.9 m²；寫反比會偏大 86.6%。數據均為自編示意。
四、自測清單
- 能用內角和求第三角
- 能用正弦定理求兩條不可達邊
- 能用面積公式收口
- 能用三組正弦比回代
- 能識別正弦比寫反的方向錯誤
- 能用小角對小邊作合理性檢查
