題目性質：自編仿真題——題目、材料、選項、數據與情境均為按課程標準與聯招常見考點獨立編寫的原創仿真題，非真題原文，未取自任何題庫、教輔或試卷；解析與採分點為教研整理，非官方評分標準。
一、考點定位與做題順序
角平分線定理說的是分邊成比例：BD/DC = c/b，所以 BD = a·c/(b+c)、DC = a·b/(b+c)。但「BD 有多長」不等於「角平分線 AD 有多長」——後者要用 l_a = 2bc·cos(A/2)/(b+c)，或等價的斯圖爾特形式 l_a² = bc[1−(a/(b+c))²]。
自編示意三角形：b=6.0、c=8.0、a=7.0。參數均為自編示意。
二、逐題精講
題1
題1 求 cos A、cos(A/2)、兩段分邊與角平分線長。
解析
cos A = (b²+c²−a²)/(2bc) = (36+64−49)/96 = 0.53125。半角餘弦 cos(A/2) = √((1+cos A)/2) = √0.765625 = 0.8750（正好 7/8）。
分邊：BD = a·c/(b+c) = 7×8/14 = 4.0，DC = a·b/(b+c) = 7×6/14 = 3.0，BD:DC = 4:3 = c:b，且 BD+DC = 7.0 = a 閉合。
角平分線長 l_a = 2bc·cos(A/2)/(b+c) = 2×6×8×0.875/14 = 6.0000。斯圖爾特複核：√(bc[1−(a/(b+c))²]) = √(48×0.75) = 6.0000，兩式一致。
答案 cosA=0.53125；cos(A/2)=0.8750；BD=4.0、DC=3.0；l_a=6.0000
採分點 餘弦定理 2 分；半角公式 2 分；分邊比例 2 分；角平分線長 2 分；斯圖爾特複核 1 分
易錯點 把 BD 當角平分線長；把 cos(A/2) 寫成 cosA/2
題2
題2 同三角形的中線 m_a 是多少？把它當角平分線會差多少？
解析
中線 m_a = ½√(2b²+2c²−a²) = ½√(72+128−49) = √151/2 = 6.1441，比角平分線 6.0000 長 0.1441，相對差 2.3%。
兩條線只在 b=c 時重合（等腰三角形頂角的平分線同時也是中線）。本題 b≠c，分邊 4:3 不是 1:1，正是兩線不重合的直接證據：中線落到 a 的中點（3.5 處），角平分線落到 BD=4 處。
回代核驗：6.0000² = 36.00 與 bc[1−(a/(b+c))²] = 36.00 閉合；6.1441² = 37.75 = (2b²+2c²−a²)/4 = 37.75 閉合。
答案 m_a=6.1441；比角平分線長 0.1441（2.3%）；僅 b=c 時兩線重合
採分點 中線公式 2 分；兩線差 2 分；分邊位置證據 2 分；兩處平方回代 2 分；等腰特例 1 分
易錯點 把 cos(A/2) 寫成 sin(A/2)；用中線代角平分線
三、規律小結與對照表
| 量 | 公式 | 本題值 | 說明 |
|---|---|---|---|
| cos A | (b²+c²−a²)/(2bc) | 0.53125 | 自編示意 |
| cos(A/2) | √((1+cosA)/2) | 0.8750 | = 7/8 |
| 分邊 BD | a·c/(b+c) | 4.0 | BD:DC=4:3 |
| 角平分線 l_a | 2bc·cos(A/2)/(b+c) | 6.0000 | 斯圖爾特閉合 |
| 中線 m_a | ½√(2b²+2c²−a²) | 6.1441 | 不可互換 |
小結：分邊成比例用角平分線定理，求線段長用半角餘弦或斯圖爾特式。本例 l_a=6.0000、m_a=6.1441，差 2.3%；BD:DC=4:3 說明兩線不重合。參數均為自編示意。
四、自測清單
- 能用角平分線定理求兩段分邊
- 能用半角餘弦求角平分線長
- 會用斯圖爾特形式複核
- 能求中線並比較兩線長度
- 能用分邊位置說明兩線不重合
- 能回代兩線平方值
