題目性質：自編仿真題——題目、材料、選項、數據與情境均為按課程標準與聯招常見考點獨立編寫的原創仿真題，非真題原文，未取自任何題庫、教輔或試卷；解析與採分點為教研整理，非官方評分標準。
一、考點定位與做題順序
自由落體裡兩點的速度滿足 v₂² − v₁² = 2gh。這個式子和 (v₂−v₁)² 不是一回事：展開 (v₂−v₁)² = v₂² − 2v₁v₂ + v₁²，比平方差少了交叉項，拿它算 g 會整個量級錯掉。
自編示意：小球下落經過兩個光電門，門 1 讀得 v₁=2.80 m/s、門 2 讀得 v₂=4.20 m/s，兩門間距 h=0.500 m。讀數均為自編示意，不代表真實測量記錄。
二、逐題精講
題1
題1 求重力加速度 g、兩門之間的通過時間與平均速度。
解析
v₂² − v₁² = 4.20² − 2.80² = 9.80，故 g = 9.80/(2×0.500) = 9.80 m/s²。
勻加速下 Δt = (v₂−v₁)/g = 1.40/9.80 = 0.142857 s，平均速度 v̄ = (v₁+v₂)/2 = 3.50 m/s。回代核驗：v̄·Δt = 3.50×0.142857 = 0.500 m = h，閉合；又 v₂² = v₁² + 2gh 代回得 17.64 = 17.64。
注意光電門給的是遮光條通過那段的平均速度，本題按題面口徑把它歸到各門所在位置的中點時刻；兩個門對應兩個不同時刻，Δt 是這兩個中點時刻之差。
答案 g=9.80 m/s²；Δt=0.142857 s；v̄=3.50 m/s；v̄·Δt=h 閉合
採分點 平方差公式 2 分；g 數值 1 分；Δt 與平均速度 2 分；兩處回代 2 分；中點時刻口徑 1 分
易錯點 把 v₂²−v₁² 寫成 (v₂−v₁)²；把 Δt 當成遮光時間
題2
題2 若誤用 (v₂−v₁)²/(2h) 求 g，會得到多少？差幾倍？
解析
誤算 g' = (1.40)²/(2×0.500) = 1.96 m/s²，只有正確值 9.80 的 1/5.0。比值 (v₂²−v₁²)/(v₂−v₁)² = (v₂+v₁)/(v₂−v₁) = 7.00/1.40 = 5.0，正好 5 倍。
這個比值不是巧合：v₂²−v₁² = (v₂−v₁)(v₂+v₁)，除以 (v₂−v₁)² 就剩 (v₂+v₁)/(v₂−v₁)。本題兩速度取 2.80 與 4.20，和為 7.00、差為 1.40，比值恰為 5；換一組速度比值就變，不能當常數記。
回代核驗：1.96×5.0 = 9.80 = 9.80；把 g 代回 v₂ = √(v₁²+2gh) 得 4.20 = 4.20 m/s，兩路閉合。
答案 誤算 g′=1.96 m/s²，是正確值的 1/5.0；比值隨速度組變化，不是常數
採分點 誤算值 2 分；五倍關係與因式分解 2 分；非常數說明 1 分；兩處回代 2 分；口徑說明 1 分
易錯點 把 5 倍當通用常數；漏掉中點時刻口徑
三、規律小結與對照表
| 量 | 公式 | 本題值 | 說明 |
|---|---|---|---|
| 速度平方差 | v₂²−v₁² | 9.80 | 自編示意 |
| 重力加速度 g | 平方差/(2h) | 9.80 m/s² | 本題結果 |
| 通過時間 | (v₂−v₁)/g | 0.142857 s | 中點時刻差 |
| 誤算 g′ | (v₂−v₁)²/(2h) | 1.96 | 1/5.0 倍 |
小結：用速度平方差求 g，別用速度差的平方。本例 g=9.80 m/s²，誤算 1.96 差 5.0 倍；v̄·Δt=h 閉合。讀數均為自編示意。
四、自測清單
- 知道 v₂²−v₁²=2gh 的適用條件
- 能算 g、Δt 與平均速度
- 能用 v̄·Δt=h 回代間距
- 能識別 (v₂−v₁)² 的交叉項錯誤
- 能用因式分解說明倍數不是常數
- 能回代末速度
