題目性質：自編仿真題——題目、材料、選項、數據與情境均為按課程標準與聯招常見考點獨立編寫的原創仿真題，非真題原文，未取自任何題庫、教輔或試卷；解析與採分點為教研整理，非官方評分標準。
一、考點定位與做題順序
從頂點 A 出發到邊 a 有兩條常用線：中線落到中點，角平分線把 A 平分。兩者都連到邊 a，但長度公式完全不同——中線用阿波羅尼斯定理 m_a²=(2b²+2c²−a²)/4，角平分線用 l_a=2bc·cos(A/2)/(b+c)。
自編示意三角形：b=5.0、c=7.0、夾角 A=60°，先由余弦定理求 a，再分別求兩條線。參數均為自編示意。
二、逐題精講
題1
題1 求 a、面積 S、中線 m_a 與外接圓半徑 R。
已知 b=5.00、c=7.00、A=60°。
解析
a² = b² + c² − 2bc·cos A = 25 + 49 − 2·5·7·0.5 = 39.0，故 a = √39 = 6.2450。
面積 S = ½bc·sin A = ½·35·(√3/2) = 15.1554。中線 m_a² = (2b²+2c²−a²)/4 = (50+98−39)/4 = 27.25，故 m_a = 5.2202。外接圓半徑 R = a/(2 sin A) = 6.2450/(2·0.866025) = 3.6056。
回代核驗：正弦定理 a/sin A = 7.2111 = 2R = 7.2111；5.2202² = 27.25 與阿波羅尼斯式閉合。中線公式裡用的是 a² 而非 a，別把 6.2450 直接代進去。
答案 a=√39=6.2450；S=15.1554；m_a=5.2202；R=3.6056
採分點 餘弦定理 2 分；面積 1 分；中線公式 2 分；外接圓半徑 2 分；正弦定理回代 1 分；a²/a 辨析 1 分
易錯點 把中線公式裡的 a² 寫成 a；以為 R 要用角平分線
題2
題2 求角平分線 l_a，並說明把它當中線會差多少。
解析
cos(A/2) = cos30° = √3/2，l_a = 2bc·cos(A/2)/(b+c) = 2·5·7·0.866025/12 = 5.0518。
中線 5.2202 與角平分線 5.0518 相差 0.1683，相對差 3.20%。兩條線只在 b=c（等腰）時才重合：那時 m_a = l_a = (b²+c²−a²)^0.5 相關式退化為同一條高。本題 b≠c，不能互換。
回代核驗：斯圖爾特形式 l_a² = bc[1−(a/(b+c))²] = 48·(1−(6.2450/12)²) 與 5.0518² 同值；m_a² − l_a² = 1.7292 > 0，說明中線恆不短於角平分線（本題口徑下）。
答案 l_a=5.0518；比中線短 0.1683（3.20%）；僅 b=c 時兩線重合
採分點 角平分線公式 2 分；兩線差與相對差 2 分；等腰特例 2 分；斯圖爾特回代 2 分；不互換辨析 1 分
易錯點 把 2bc·cos(A/2) 寫成 2bc·sin(A/2)；用中線長代角平分線
三、規律小結與對照表
| 量 | 公式 | 本題值 | 說明 |
|---|---|---|---|
| 第三邊 a | √(b²+c²−2bc·cosA) | 6.2450 | 自編示意 |
| 中線 m_a | ½√(2b²+2c²−a²) | 5.2202 | 落到中點 |
| 角平分線 l_a | 2bc·cos(A/2)/(b+c) | 5.0518 | 平分 A |
| 外接圓半徑 R | a/(2 sinA) | 3.6056 | 正弦定理 |
小結：中線用阿波羅尼斯，角平分線用 2bc·cos(A/2)/(b+c)。本例 a=6.2450、m_a=5.2202、l_a=5.0518，差 3.20%；b=c 時才重合。參數均為自編示意。
四、自測清單
- 能用餘弦定理求第三邊
- 能用阿波羅尼斯定理求中線
- 能用角平分線長度公式
- 能用正弦定理求外接圓半徑
- 知道兩線僅在等腰時重合
- 能回代兩線長度差與 a²/a 口徑
