題目性質：自編仿真題——題目、材料、選項、數據與情境均為按課程標準與聯招常見考點獨立編寫的原創仿真題，非真題原文，未取自任何題庫、教輔或試卷；解析與採分點為教研整理，非官方評分標準。
一、考點定位與做題順序
分段函數求零點，最容易漏的一步是「解出來的根要回到它那一段的定義域裡篩」。二次方程在 x>0 段解出的兩個根，若有一個落在 x≤0，就不能算進這一段；兩段分別數完再相加。
自編示意：f(x) = x + 2（x ≤ 0）；f(x) = x² − 2x + a（x > 0）。參數僅用於展示分檔流程。
二、逐題精講
題1
題1 按 a 分檔討論零點個數，並給出各檔的臨界判別式。
解析
第一段 x ≤ 0：x + 2 = 0 得 x = −2，落在區間內，恆貢獻 1 個零點。
第二段 x > 0：x² − 2x + a = 0，判別式 Δ = 4 − 4a，根為 x = 1 ± √(1−a)（需 a ≤ 1 才有實根）。
分檔：a > 1 時 Δ < 0（如 a=2.0 給 Δ=-4.0），第二段 0 根，總數 1 個；a = 1 時 Δ = 0.0，重根 x = 1.0 > 0，第二段 1 根，總數 2 個；0 < a < 1 時兩根 1±√(1−a) 都為正（如 a=0.75 給 1.5000 與 0.5000），第二段 2 根，總數 3 個；a ≤ 0 時 √(1−a) ≥ 1，根 1−√(1−a) ≤ 0 被 x>0 篩掉，只剩 1+√(1−a)（如 a=-3.0 給 3.0000），總數 2 個。
答案 a>1：1 個；a=1：2 個；0<a<1：3 個；a≤0：2 個；Δ=4−4a
採分點 第一段恆根 2 分；判別式 2 分；四檔歸納 3 分；區間篩根 2 分
易錯點 把 x≤0 的根算進第二段；a>1 時仍寫兩個根
題2
題2 取 a=0.75 與 a=2.0，分別寫出全部零點並回代函數值。
解析
a = 0.75：第一段零點 −2；第二段 Δ = 1.00，兩根 0.5000 與 1.5000，均 > 0。全部零點 −2、0.5000、1.5000 共 3 個。回代：0.5000² − 2×0.5000 + 0.75 = 0.0000，1.5000² − 2×1.5000 + 0.75 = 0.0000，均為 0。
a = 2.0：Δ = -4.0 < 0，第二段無實根，只有第一段零點 −2，共 1 個。回代：−2 + 2 = 0 成立；若強行把 x=1 代入第二段得 1 − 2 + 2.0 = 1.0 ≠ 0，也說明該檔沒有第二段零點。
回代核驗：a=0.75 三個零點逐個代入各自分段均為 0；a=2.0 只一個零點，兩段定義域沒有交叉計數。
答案 a=0.75 時零點 −2、0.5000、1.5000 共 3 個；a=2.0 時只有 −2 共 1 個
採分點 兩檔零點 2 分；逐根回代 2 分；負判別式 2 分；分段不交叉 1 分；口徑 1 分
易錯點 把 a=2 時的 x=1 寫成零點；漏掉區間篩根
三、規律小結與對照表
| a 檔 | Δ=4−4a | x>0 段根數 | 總零點 |
|---|---|---|---|
| a>1 | <0 | 0 | 1 |
| a=1 | =0 | 1（重根） | 2 |
| 0<a<1 | >0 | 2 | 3 |
| a≤0 | >0 | 1（另一根被篩） | 2 |
小結：分段求零點要「各段解方程 + 回定義域篩根 + 分段相加」。本例 a=0.75 給 3 個零點，a=2.0 只剩 1 個。參數均為自編示意。
四、自測清單
- 能分段列出方程並各自求解
- 知道第一段恆有一個零點
- 會由 Δ=4−4a 分檔
- 能把落在區間外的根篩掉
- 能逐根回代函數值為 0
- 能給出各檔零點總數
