聯招數學·輔助角公式：3sin x + 4cos x 的最大值就是 5

題目性質：自編仿真題——題目、材料、選項、數據與情境均為按課程標準與聯招常見考點獨立編寫的原創仿真題，非真題原文，未取自任何題庫、教輔或試卷；解析與採分點為教研整理，非官方評分標準。

一、考點定位與做題順序

兩個同角不同名的三角函數相加，可以合成一個：a sin x + b cos x = √(a²+b²)·sin(x+φ)，其中 φ 由 cos φ = a/√(a²+b²)、sin φ = b/√(a²+b²) 定，也就是 tan φ = b/a。把 a、b 當直角三角形的兩條直角邊，振幅就是斜邊。

自編示意函數 f(x)=3 sin x + 4 cos x，另考察 g(x)=f(x)+1。參數均為自編示意。

二、逐題精講

題1

題1　求 f(x) 的振幅、相位角、最大值點與最大值。

解析

振幅 R = √(3²+4²) = √25 = 5.0。相位角 φ = atan2(4,3) = 0.927295 rad = 53.130°，即 cos φ = 3/5、sin φ = 4/5。

故 f(x) = 5.0 sin(x+φ)。最大值在 x+φ = π/2 處取得，x₀ = π/2 − φ = 0.643501，最大值 f(x₀) = 5.000000 = 5.0。

回代核驗：把 x₀ 代回原式，3·sin x₀ + 4·cos x₀ = 5.000000，與合成式一致；sin²φ+cos²φ = (4/5)²+(3/5)² = 1.00 = 1 閉合。

答案　R=5.0，φ=0.927295 rad（53.130°），x₀=0.643501，最大值 5.0

採分點　振幅 2 分；相位角正餘弦定法 2 分；最大值點 2 分；最大值 1 分；原式回代 2 分

易錯點　把 tan φ 寫成 a/b；把振幅寫成 a+b

題2

題2　g(x)=f(x)+1 的最大值是多少？若解 f(x)=−1，x 落在哪裡？

解析

g(x) 的最大值 = R + 1 = 6.0，取到位置仍是 x₀ = 0.643501：整體上下平移不改變相位，只抬最高點。

解 f(x)=−1 即 5.0 sin(x+φ) = −1，sin(x+φ) = -0.2 = −1/5。一個解為 x = arcsin(−0.2) − φ = -1.128653（另一解由 π − arcsin(−0.2) − φ 給出，按題面只報第一象限外的這一個）。

回代核驗：5.0·sin(x₁+φ) = -1.0 = −1，與原方程閉合；g 在 x₀ 處取 6.0，在 x₁ 處取 0.0 = 0。

答案　g 最大值 6.0；f(x)=−1 的一解 x₁=-1.128653，對應 sin(x+φ)=-0.2

採分點　平移不改相位 2 分；最大值 1 分；方程化簡 2 分；解的表達 2 分；兩處回代 1 分

易錯點　以為加 1 會改最大值點；把 sin(x+φ)=−1/5 寫成 −5

三、規律小結與對照表

小結：a、b 當直角邊，振幅是斜邊；整體平移只抬最高點不改相位。本例 R=5.0、φ=53.130°、x₀=0.643501，回代 f(x₀)=5.0 閉合。參數均為自編示意。

四、自測清單

• 能用 √(a²+b²) 求振幅
• 能用 atan2 與正餘弦定相位角
• 能求最大值點與最大值
• 知道整體平移不改相位
• 能解合成後的簡單方程
• 能用原式與合成式兩路回代