題目性質：自編仿真題——題目、材料、選項、數據與情境均為按課程標準與聯招常見考點獨立編寫的原創仿真題，非真題原文，未取自任何題庫、教輔或試卷；解析與採分點為教研整理，非官方評分標準。
一、考點定位與做題順序
三個不同底的對數硬換底能比，但更省事的是找中間量。1.5 是個好切點：把每個數寫成「底數^1.5 與真數比大小」，利用對數函數單調性就能判它在 1.5 的哪一側。
自編示意三數：a = log₂3，b = log₃5，c = log₅8。數值僅用於展示比較流程，不代表任何真實統計數據。
二、逐題精講
題1
題1 用中間量 1.5 判斷 a、b、c 分別在 1.5 的哪一側。
解析
a = log₂3 與 1.5 比：因底 2>1，log₂ 單調增，比較 3 與 2^1.5。2^1.5 = 2.828427 < 3，故 a > 1.5。精確值 a = 1.584963。
b = log₃5 與 1.5 比：3^1.5 = 5.196152 > 5，故 b < 1.5。精確值 b = 1.464974。c = log₅8 與 1.5 比：5^1.5 = 11.180340 > 8，故 c < 1.5。精確值 c = 1.292030。
於是 a > 1.5 > b 且 a > 1.5 > c，a 最大已定。回代核驗：2^1.584963 ≈ 3、3^1.464974 ≈ 5、5^1.292030 ≈ 8，三處換底閉合。
答案 a=1.584963>1.5；b=1.464974<1.5；c=1.292030<1.5；a 最大
採分點 單調性前提 2 分；三處冪值 2 分；三側判定 2 分；換底回代 2 分
易錯點 底數小於 1 時仍用單調增；拿 1 當中間量切不開 b 與 c
題2
題2 比較 b 與 c 的大小，給出 a>b>c 的完整鏈條；若換用換底公式，結果是否一致？
解析
b = ln5/ln3 = 1.464974，c = ln8/ln5 = 1.292030，故 b > c。合併題1 得 a = 1.584963 > b = 1.464974 > c = 1.292030。
換底複核：a = ln3/ln2 = 1.584963，與 1.584963 一致；b = 1.464974，c = 1.292030，三條通分到自然對數後排序不變。中間量法與換底法結論一致，前者不依賴計算器。
注意 1.5 只切開了 a 與其餘兩數，沒切開 b 與 c；若只做完題1 就寫「a 最大、b=c」，是漏了第二層比較。回代核驗：b − c = 0.172944 > 0，鏈條閉合。
答案 a>b>c，即 1.584963 > 1.464974 > 1.292030；換底法結論一致
採分點 b/c 比較 2 分；完整鏈條 2 分；換底複核 2 分；兩層比較辨析 1 分；差值回代 1 分
易錯點 用 1.5 同時切開 b 與 c；把 b 與 c 判成相等
三、規律小結與對照表
| 數 | 精確值 | 與 1.5 比 | 判據 |
|---|---|---|---|
| a=log₂3 | 1.584963 | > | 2^1.5=2.8284<3 |
| b=log₃5 | 1.464974 | < | 3^1.5=5.1962>5 |
| c=log₅8 | 1.292030 | < | 5^1.5=11.1803>8 |
| b−c | 0.172944 | >0 | 換底複核 |
小結：不同底對數先找中間量切開一層，再補第二層比較；換底公式可作獨立複核。本例 a=1.584963>b=1.464974>c=1.292030。數值為自編示意。
四、自測清單
- 知道底數大於 1 時對數函數單調增
- 會用底數^中間量與真數比大小
- 能算 2^1.5、3^1.5、5^1.5
- 知道中間量常只能切開一層
- 能用換底公式獨立複核
- 能給出完整排序鏈條
