題目性質：自編仿真題——題目、材料、選項、數據與情境均為按課程標準與聯招常見考點獨立編寫的原創仿真題，非真題原文，未取自任何題庫、教輔或試卷；解析與採分點為教研整理，非官方評分標準。
一、考點定位與做題順序
等差數列前 n 項和 S_n 是 n 的二次函數，但用「變號項」判最值更直接：a_n > 0 時每加一項 S_n 還在漲，a_n < 0 時開始跌。所以 S_n 最大落在最後一個非負項處，不必先把二次函數配方。
自編示意：a₁ = 20，d = -3。數據為自編示意，僅用於展示判定流程。
二、逐題精講
題1
題1 求變號項位置、S₇ 與 S₈，並判斷 S_n 何時最大。
解析
a_n = a₁ + (n−1)d = 20 − 3(n−1)。a₇ = 20 − 18 = 2 > 0，a₈ = 20 − 21 = -1 < 0，故前 7 項都在給 S_n 加正數，第 8 項開始減，S₇ 最大。
S₇ = 7/2 · (2a₁ + 6d) = 3.5 × (40 − 18) = 77.0；S₈ = 8/2 · (2a₁ + 7d) = 4 × (40 − 21) = 76.0。
回代核驗：S₈ − S₇ = -1.0 = a₈ = -1，即 S₈ = S₇ + a₈ = 77.0 + (-1) = 76.0 閉合。再驗 a_n = 0 得 n = 1 + 20/3 = 7.666667，不是整數，所以沒有「加一項剛好不變」的項，最值點唯一落在 n=7。
答案 a₇=2>0、a₈=-1<0；S₇=77.0 最大，S₈=76.0；S₈−S₇=-1.0=a₈
採分點 通項 2 分；變號項判定 2 分；S₇/S₈ 各 1 分；S₈=S₇+a₈ 回代 2 分；n 非整數 1 分
易錯點 把 a₈ 當正項繼續累加；用 S_n=0 判最值
題2
題2 求 S₁₅，並說明為什麼 S_n 會由正轉負；若 d 改成 −2，變號項會怎麼移？
解析
S₁₅ = 15/2 · (2×20 + 14×-3) = 7.5 × (40 − 42) = -15.0。前 7 項之和還在漲，之後負項逐項累積，到第 15 項累計已為負。
由 S₁₅ = -15.0 可反驗：S₇ = 77.0，第 8 到 15 項共 8 項之和 = -92.0，與 a₈…a₁₅ 等差數列求和一致（首項 -1、末項 -22、8 項）。
若 d 改成 −2：a_n = 20 − 2(n−1)，a₁₀ = 2 > 0、a₁₁ = 0、a₁₂ = −2，變號點後移到 n=11 附近，且出現「a₁₁=0」使 S₁₀ = S₁₁ 兩個相鄰並列最大。回代核驗：本例 7.666667 非整數對應唯一最值，d=−2 時 11 為整數對應並列最值，兩種情形口徑不同，正文已註明。
答案 S₁₅=-15.0；d=−2 時變號後移且出現 a₁₁=0，S₁₀=S₁₁ 並列最大
採分點 S₁₅ 2 分；後八項和反驗 2 分；d 改變號點 2 分；整數項致並列最值 1 分；回代 1 分
易錯點 說成 S_n 一直為正；忽略 a_n=0 時的並列最值
三、規律小結與對照表
| 量 | 本例 d=−3 | 對照 d=−2 | 說明 |
|---|---|---|---|
| 最後正項 | a₇=2 | a₁₀=2 | 變號點 |
| 最大和 | S₇=77.0 | S₁₀=S₁₁ | 唯一/並列 |
| a_n=0 | n=7.667 非整數 | n=11 整數 | 口徑不同 |
| S₁₅ | -15.0 | — | 後段轉負 |
小結：S_n 最值看 a_n 何時由正轉負，最後非負項處最大；a_n=0 恰落在整數項時會出現相鄰兩和並列。本例 S₇=77.0、S₈=76.0，差 1.0 正是 a₈。數據為自編示意。
四、自測清單
- 能寫出等差數列通項並找變號項
- 知道 S_n 最大落在最後非負項
- 會用求和公式算 S₇ 與 S₈
- 能用 S₈=S₇+a₈ 回代
- 能判斷 a_n=0 是否為整數項
- 能說明 a_n=0 落在整數時並列最值
