題目性質：自編仿真題——題目、材料、選項、數據與情境均為按課程標準與聯招常見考點獨立編寫的原創仿真題，非真題原文，未取自任何題庫、教輔或試卷；解析與採分點為教研整理，非官方評分標準。
一、考點定位與做題順序
已知兩邊和其中一邊的對角（SSA），正弦定理給的是 sinB，而 sinB 在 (0,180°) 內對應兩個角 B 與 180°−B。兩個都要驗，能不能都成立，看邊角關係：大邊對大角，且要滿足 b sinA < a < b 才兩解。
自編示意：a = 2.00，b = 2√2 = 2.828427，A = 30°。數據為自編示意，僅用於展示判定流程。
二、逐題精講
題1
題1 求 sinB，判斷有幾組解，並求出兩組 C 與 c。
解析
由正弦定理 a/sinA = b/sinB，得 sinB = b·sinA/a = 2.828427×0.5/2.00 = 0.707107。
sinB = 0.707107 對應 B₁ = 45.0° 與 B₂ = 135.0°。判兩解條件：b·sinA = 1.414214 < a = 2.00 < b = 2.828427，成立，故兩解。
第一組：C₁ = 180° − A − B₁ = 105.0°，c₁ = a·sinC₁/sinA = 2×sin105.0°/0.5 = 3.863703。第二組：C₂ = 180° − A − B₂ = 15.0°，c₂ = 2×sin15.0°/0.5 = 1.035276。兩組均滿足 c/sinC = a/sinA，回代閉合。
答案 sinB=0.707107；兩解：C₁=105.0°、c₁=3.863703；C₂=15.0°、c₂=1.035276
採分點 sinB 2 分；兩解條件 2 分；兩組 C 與 c 各 1 分；正弦定理回代 2 分
易錯點 只取銳角 B=45° 漏掉 135°；用 b sinA ≥ a 判無解
題2
題2 若把 a 改成 3.00（大於 b），還有幾組解？說明判據裡 a ≥ b 為什麼只剩一解。
解析
a = 3.00 > b = 2.828427 時，sinB = 2.828427×0.5/3.00 = 0.471405，得 B ≈ 28.1255° 或 180°−B ≈ 151.8745°。
鈍角那一支要驗：若 B 取鈍角，則 B > A 且 b 應大於 a（大邊對大角），但 b = 2.828427 < a = 3.00，矛盾，故鈍角支捨去，只剩一解。這正是 a ≥ b 時只有一解的理由，不是「算出來兩個就寫兩個」。
回代核驗：兩解情形 a = 2.00 < b，B₂ = 135.0° > A = 30° 且對應邊 b > a，成立；單解情形 a > b，鈍角支違反大邊對大角，捨去。另三種邊界：a = b·sinA 時一解（直角）、a < b·sinA 時無解、a > b 時一解。
答案 a=3.00>b 時只剩一解；鈍角支違反大邊對大角故舍去
採分點 sinB 重算 2 分；鈍角支矛盾 2 分；大邊對大角 2 分；四類邊界歸納 1 分；回代 1 分
易錯點 a>b 時仍寫兩解；把「大邊對大角」用反
三、規律小結與對照表
| 情形 | 條件 | 解數 | 本例 |
|---|---|---|---|
| 無解 | a < b sinA | 0 | — |
| 一解 | a = b sinA | 1 | 直角 |
| 兩解 | b sinA < a < b | 2 | a=2.00 |
| 一解 | a ≥ b | 1 | a=3.00 |
小結：SSA 先算 sinB，再驗 b·sinA < a < b；兩解成立還要過「大邊對大角」。本例 a=2.00 給 c₁=3.863703、c₂=1.035276 兩組，a 改 3.00 後只剩一解。數據為自編示意。
四、自測清單
- 能由正弦定理算出 sinB
- 知道 sinB 對應兩個角都要驗
- 會用 b sinA < a < b 判兩解
- 會用大邊對大角捨去鈍角支
- 能求兩組的 C 與 c
- 能歸納無解/一解/兩解四類邊界
