聯招物理·靜電計測介電常數：電荷不變時 U 降幾倍，εr 就是幾

題目性質：自編仿真題——題目、材料、選項、數據與情境均為按課程標準與聯招常見考點獨立編寫的原創仿真題，非真題原文，未取自任何題庫、教輔或試卷；解析與採分點為教研整理，非官方評分標準。

一、考點定位與做題順序

用靜電計測介電常數的前提是電容器與電源斷開：極板電荷 Q 保持不變，插入介質後電容 C 變為 εr·C0，於是 U = Q/C 降為原來的 1/εr，反解 εr = U0/U。靜電計內阻極大，接上去幾乎不改變 Q。

自編示意：空氣時靜電計讀數 U0 = 300.0 V，插入充滿極板間隙的介質後 U = 100.0 V。電壓與常數均為自編示意，不代表真實器件。

二、逐題精講

題1

題1　求相對介電常數 εr，並說明為什麼必須斷開電源。

解析

Q 不變時 C = εr C0，U = Q/C = Q/(εr C0) = U0/εr，故 εr = U0/U = 300.0/100.0 = 3.0。

必須斷開電源：若仍接著電源，電源會把極板電壓釘在 U0 不變，插入介質只讓電源多送些電荷（Q 變為 εr 倍），靜電計讀數根本不動，U0/U = 1 會給出 εr = 1 的假結論。方法的全部依據就是「Q 不變」這一條。

回代核驗：C 由 1.0C0 變 3.0C0，Q = C0·300.0 = 3.0C0·100.0，兩邊同為 300.0·C0，閉合。

答案　εr = 3.0；須斷開電源保持 Q 不變，接電源時 U 不變、方法失效

採分點　寫出 U=U0/εr 2 分；εr=3.0 2 分；Q 不變前提 2 分；接電源後果 2 分；電荷回代 2 分

易錯點　把 εr 寫成 U/U0；忽略「斷開電源」這一前提

題2

題2　若介質只插入極板間隙的一半厚度（沿電場方向），電壓變成多少？為什麼不是簡單取 3.0/2？

解析

半厚度插入相當於「空氣層 + 介質層」兩個電容串聯：C = ε0S/(d/2 + d/(2εr)) = [2εr/(εr+1)]·C0。代入 εr = 3.0 得 C = 1.5C0。

於是 U′ = Q/C = U0/1.5 = 300.0/1.5 = 200.0 V，比全插入時的 100.0 V 高 100.0 V。

不能簡單取 εr/2 = 1.5 去套 U0/1.5 = 200 V 雖數值巧合相同，但理由錯了：串聯公式裡倒數相加的是「等效厚度」d/2 + d/(2εr)，不是把介電常數取算術平均。回代核驗：2×3.0/(3.0+1) = 1.5；200.0×1.5 = 300.0，與 Q 不變閉合。

答案　U′ = 200.0 V（比全插入高 100.0 V）；須用串聯等效厚度 2εr/(εr+1) = 1.5，不是 εr 取一半

採分點　寫出串聯等效式 3 分；1.5 1 分；U′=200.0 2 分；算術平均錯法辨析 2 分；回代 1 分

易錯點　把兩電容當成並聯；直接令 εr′ = εr/2

三、規律小結與對照表

小結：斷開電源保住 Q 不變，εr=U0/U。本例 εr=3.0；半厚度插入按串聯等效厚度算得 200.0 V，不是把介電常數取一半。參數均為自編示意，不代表真實器件。

四、自測清單

• 知道靜電計測介電常數須保持電荷不變
• 能由 U0/U 求 εr
• 能說明接電源時方法為何失效
• 能把半厚度插入看成兩電容串聯
• 能寫出 2εr/(εr+1) 的等效電容係數
• 能用 QU 關係回代