題目性質：自編仿真題——題目、材料、選項、數據與情境均為按課程標準與聯招常見考點獨立編寫的原創仿真題，非真題原文，未取自任何題庫、教輔或試卷；解析與採分點為教研整理，非官方評分標準。
一、考點定位與做題順序
複數化成三角形式 z = r(cosθ + i sinθ) 後，乘方有一條捷徑：zⁿ = rⁿ(cos nθ + i sin nθ)。模直接乘方、輻角直接乘 n，不必逐層展開二項式。
棣莫弗定理對整數 n 成立；本題取 n 為正整數，用兩個自編示意複數走一遍，並用「逐步平方」獨立回代。
二、逐題精講
題1
題1 把 z = 1+i 化為三角形式，用棣莫弗定理求 z⁸，並用逐步平方法互驗。
解析
模 r = √(1²+1²) = √2 ≈ 1.4142；輻角 θ 滿足 cosθ = 1/√2、sinθ = 1/√2，故 θ = π/4 ≈ 0.7854。
棣莫弗：z⁸ = (√2)⁸(cos(8×π/4) + i sin(8×π/4)) = 16(cos 2π + i sin 2π) = 16×(1 + 0i) = 16。
逐步平方互驗：(1+i)² = 1+2i+i² = 2i；⁴ = (2i)² = -4；⁸ = (-4)² = 16。兩路同值。回代核驗：r⁸ = (√2)⁸ = 2⁴ = 16；8θ = 2π，cos 2π = 1.0，故虛部為 0，結果是實數。
答案 r≈1.4142、θ≈0.7854；z⁸ = 16；逐步平方 2i → −4 → 16 閉合
採分點 模與輻角各 2 分；棣莫弗式 2 分；z⁸=16 1 分；逐步平方 2 分；虛部為零說明 1 分
易錯點 把輻角寫成 π/2；棣莫弗裡忘記模也要乘方
題2
題2 對 z = √3 + i 求模與輻角，用棣莫弗求 z⁶，並說明結果為何落在負實軸上。
解析
模 r = √(3+1) = 2；cosθ = √3/2、sinθ = 1/2，故 θ = π/6 ≈ 0.5236。
z⁶ = 2⁶(cos(6×π/6) + i sin(6×π/6)) = 64(cos π + i sin π) = 64×(-1 + 0i) = -64。
落在負實軸是因為 6θ = π，正好是輻角主值裡 cos = −1、sin = 0 的方向；虛部歸零後只剩負實數。回代核驗：2⁶ = 64，乘 cos π = -1 得 -64；-64 = −64 與之一致。若把輻角誤取 π/3，6θ = 2π 會得 +64，符號正好反，說明輻角必須按 cos、sin 同時定。
答案 r=2、θ≈0.5236；z⁶ = -64，因 6θ=π 落在負實軸
採分點 模與輻角各 2 分；棣莫弗式 2 分；z⁶=-64 1 分；負實軸解釋 2 分；輻角誤取對照 1 分
易錯點 把輻角取成 π/3；漏掉 cos π = −1 寫成 +64
三、規律小結與對照表
| 複數 | 模 r | 輻角 θ | zⁿ |
|---|---|---|---|
| 1+i | 1.4142 | 0.7854 | z⁸=16 |
| 逐步平方 | — | — | 2i→−4→16 |
| √3+i | 2 | 0.5236 | z⁶=-64 |
| 6θ=π | — | cos=−1 | 負實軸 |
小結：三角形式把乘方拆成「模乘方 + 輻角乘 n」。本例 (1+i)⁸=16、(√3+i)⁶=-64，逐步平方與 cos 2π / cos π 兩路都閉合。題面數值均為自編示意。
四、自測清單
- 能把複數化為 r(cosθ+i sinθ)
- 能由 cos、sin 同時定輻角
- 能用棣莫弗定理求正整數次冪
- 知道模也要乘方
- 能用逐步平方法獨立互驗
- 能解釋結果落在實軸或負實軸的原因
