聯招數學·抽象函數賦值法：f(x+2)=−f(x) 裡藏著週期 4

題目性質：自編仿真題——題目、材料、選項、數據與情境均為按課程標準與聯招常見考點獨立編寫的原創仿真題，非真題原文，未取自任何題庫、教輔或試卷；解析與採分點為教研整理，非官方評分標準。

一、考點定位與做題順序

抽象函數沒有解析式，唯一可靠的工具是「把條件裡的 x 換成 x+2、x+4 … 反覆代」。若代 k 次後右邊回到 f(x) 本身，週期就是每次步長乘 k。

自編示意條件：對任意 x 有 f(x+2) = −f(x)，並給 f(1) = 3、f(0) = 0。條件與函數值均為自編示意。

二、逐題精講

題1

題1　由 f(x+2) = −f(x)、f(1) = 3 求週期與 f(3)、f(5)。

解析

把 x 換成 x+2：f(x+4) = −f(x+2) = −(−f(x)) = f(x)。兩次代換後回到自身，步長 2 乘 2 次，故週期 T = 4。注意不是 2：代一次只得到相反數，要代兩次才回原值。

f(3) = f(1+2) = −f(1) = -3；f(5) = f(3+2) = −f(3) = 3，也可直接用週期 f(5) = f(1+T) = f(1) = 3，兩條路一致。

回代核驗：f(5) − f(1) = 0，週期為 4 時 5−1 = 4，吻合；f(3)+f(1) = 0，與「差 2 取相反數」一致。

答案　週期 T = 4；f(3) = -3，f(5) = 3

採分點　連續代換 3 分；週期 4 2 分；兩個函數值各 1 分；兩條路互驗 2 分；「不是 2」說明 1 分

易錯點　把週期寫成 2；代一次就下結論

題2

題2　給 f(0) = 0，求 f(2)、f(2026)；若條件改為 f(x+1) = 1/f(x)（f 恆不為 0），週期變成多少？

解析

f(2) = −f(0) = 0。因週期為 4，f(2026) = f(2026 mod 4)。2026 = 4×506 + 2，故 f(2026) = f(2) = f(2) = 0。取模這一步把大下標壓回一個週期內，是抽象函數求值的標準動作。

換條件 f(x+1) = 1/f(x)：代一次得 f(x+2) = 1/f(x+1) = f(x)，故週期 T′ = 2。步長從 2 變 1、代 2 次仍回到自身，週期就是 1×2 = 2，與「代幾次回到自身決定週期」一致。

回代核驗：2 = 2026 − 4×506；f(2026) 與 f(2) 同為 0；新條件下 f(x+2) = f(x) 閉合。注意新條件要求 f 恆不為 0，否則 1/f 無意義，這個前提要寫出來。

答案　f(2) = 0，2026 ≡ 2 (mod 4) 故 f(2026) = 0；換條件後周期 2（須 f≠0）

採分點　f(2) 1 分；取模計算 2 分；f(2026) 2 分；新條件連代 2 分；週期 2 1 分；f≠0 前提 1 分；回代 1 分

易錯點　把 2026 直接代入而不取模；新條件漏寫 f≠0

三、規律小結與對照表

小結：抽象函數靠連代找週期，代幾次回自身就用步長乘幾次。本例 f(x+2)=−f(x) 給 T=4，f(3)=-3、f(5)=3、f(2026)=0；換成 1/f 型後 T′=2。條件均為自編示意。

四、自測清單

• 能通過連續代換推出函數週期
• 知道代一次得相反數不等於週期
• 能用週期與取模求大下標函數值
• 能處理 f(x+1)=1/f(x) 型條件
• 能寫出 f≠0 的前提
• 能用兩條路徑互驗 f(5)