題目性質：自編仿真題——題目、材料、選項、數據與情境均為按課程標準與聯招常見考點獨立編寫的原創仿真題，非真題原文，未取自任何題庫、教輔或試卷；解析與採分點為教研整理，非官方評分標準。
一、考點定位與做題順序
扭秤測 G 的思路是把極弱的引力變成可測的角度：兩小球各受一個大球的引力，方向相反、大小相等，構成力偶；力偶矩被扭絲的恢復力矩 κφ 平衡，測出 φ 就能反推引力。
φ 太小，直接讀角讀不準，於是加光槓杆：反射鏡隨扭絲轉 φ，反射光偏轉 2φ，標尺距鏡 D 時光斑位移 s = 2Dφ。自編示意取 m = 0.02 kg、M = 5.0 kg、r = 0.05 m、兩球間距 d = 0.1 m、κ = 1.00×10⁻⁷ N·m/rad、D = 2.0 m、G 取 6.67×10⁻¹¹ 作正向驗算，均為示意取值，不代表真實實驗條件。
二、逐題精講
題1
題1 按自編示意參數求單個引力 F、力偶矩 τ、偏角 φ 與光斑位移 s（m 與 mm）。
解析
單個引力 F = G M m / r² = 6.67×10⁻¹¹×5.0×0.02/(0.05)² = 2.668e-09 N。
兩個力方向相反、力臂為兩小球間距 d = 0.1 m，力偶矩 τ = F·d = 2.668e-10 N·m。
力矩平衡 κφ = τ，故 φ = τ/κ = 2.668e-10/1.00×10⁻⁷ = 0.002668 rad。
光槓杆：反射光偏轉 2φ，標尺距 D = 2.0 m，s = 2Dφ = 2×2.0×0.002668 = 0.010672 m = 10.67 mm。
回代核驗：10.67/1000/(2×2.0) = 0.002668 rad，與 τ/κ 一致；F×0.1 = 2.668e-10，閉合。注意「2」來自反射定律（鏡轉 φ，反射光線轉 2φ），不是兩個小球，兩處別混。
答案 F=2.668e-09 N，τ=2.668e-10 N·m，φ=0.002668 rad，s=0.010672 m = 10.67 mm
採分點 引力公式 2 分；力偶矩 2 分；力矩平衡 2 分；光槓杆 2φ 與 s 2 分；兩個單位 1 分；回代 1 分
易錯點 漏掉力偶的力臂 d；把反射光偏角寫成 φ 而不是 2φ
題2
題2 由測得的光斑位移反解 G，驗證是否回到 6.67×10⁻¹¹；若誤把 s 當成 Dφ（漏掉 2），G 會差多少？
解析
把各步連起來：s = 2Dφ = 2D·τ/κ = 2D·(G M m/r²)·d/κ，反解 G = κ s r² / (2D·M·m·d)。
代入 s = 0.010672 m：G = 1.00×10⁻⁷×0.010672×(0.05)²/(2×2.0×5.0×0.02×0.1) = 6.67e-11，與正向取的 6.67×10⁻¹¹ 一致，閉環。
若誤寫成 s = Dφ（漏掉反射的因子 2），反解式分母裡的 2D 會變成 D，G 變成 3.33e-11，恰為正確值的 2 倍。這個 2 與題1 裡的 2φ 是同一個，一處漏、兩處錯。
邊界說明：這裡把扭絲 κ、標尺距 D 都當作已標定的示意常數，且忽略大球對遠端小球的交叉引力與裝置幾何修正；真實卡文迪許實驗還要做這些修正，本題只作方法鏈路回代。
答案 反解 G = 6.67e-11，與正向值閉合；漏掉因子 2 會得 3.33e-11，恰為 2 倍
採分點 寫出 s 與 G 的鏈式關係 2 分；反解式 2 分；6.67e-11 1 分；漏 2 的後果 2 分；同一因子兩處一致 1 分；模型邊界 1 分
易錯點 反解時把 2D 寫成 D；把 κ 當成待測量卻又不給標定值
三、規律小結與對照表
| 量 | 公式 | 結果 | 漏 2 後 |
|---|---|---|---|
| 引力 F | GMm/r² | 2.668e-09 N | 不變 |
| 力矩 τ | F·d | 2.668e-10 N·m | 不變 |
| 偏角 φ | τ/κ | 0.002668 rad | s 減半 |
| 光斑 s | 2Dφ | 10.67 mm | G 翻倍 |
小結：引力→力偶矩→扭絲偏角→光斑位移，四步一條鏈，反射的因子 2 貫穿其中。本例 φ=0.002668 rad、s=10.67 mm，反解 G=6.67e-11 閉合；漏 2 會得 3.33e-11。參數均為自編示意，不代表真實實驗條件。
四、自測清單
- 能由萬有引力公式算單個引力
- 能把兩個引力寫成力偶矩
- 能用 κφ=τ 求偏角
- 知道反射光偏角是鏡面轉角的 2 倍
- 能由光斑位移反解 G 並閉合
- 能說明漏掉因子 2 的兩處後果
