聯招數學·獨立與互斥：概率都非零時兩者不能同時成立

題目性質：自編仿真題——題目、材料、選項、數據與情境均為按課程標準與聯招常見考點獨立編寫的原創仿真題，非真題原文，未取自任何題庫、教輔或試卷；解析與採分點為教研整理，非官方評分標準。

一、考點定位與做題順序

「獨立」說的是發生與否互不影響，用乘法公式 P(AB)=P(A)P(B)；「互斥」說的是不能同時發生，用 P(AB)=0。兩個概念都管 P(AB)，但給的值一般不同。

把它們放一起就能看出一個乾淨結論：若 P(A)、P(B) 都大於 0，則獨立要求 P(AB)=P(A)P(B)>0，互斥要求 P(AB)=0，二者不可能同時成立。下面按自編示意數值現算。

二、逐題精講

題1

題1　設 P(A) = 0.4、P(B) = 0.3。分別求「A、B 獨立」與「A、B 互斥」時的 P(AB) 與 P(A∪B)。

解析

獨立：P(AB) = P(A)P(B) = 0.4×0.3 = 0.12；P(A∪B) = P(A)+P(B)−P(AB) = 0.4+0.3−0.12 = 0.58。

互斥：P(AB) = 0；P(A∪B) = P(A)+P(B) = 0.4+0.3 = 0.7。

兩種情形的並事件概率相差 0.7 − 0.58 = 0.12，正好等於獨立時的 P(AB) = 0.12，因為加法公式裡減掉的就是這一項。回代核驗：0.4+0.3−0.12 = 0.58，0.4+0.3−0 = 0.7，兩式閉合。

答案　獨立：P(AB)=0.12、P(A∪B)=0.58；互斥：P(AB)=0、P(A∪B)=0.7；差 0.12

採分點　獨立乘法公式 2 分；兩個 P(AB) 各 1 分；兩個並事件概率各 2 分；差值與 P(AB) 對應 1 分；回代 1 分

易錯點　互斥時仍用乘法公式；把 0.12 說成取位差

題2

題2　證明：當 P(A)>0 且 P(B)>0 時，A、B 不能既獨立又互斥。並求兩種情形下 P(A|B) 各是多少。

解析

反證：若既獨立又互斥，則由獨立得 P(AB) = P(A)P(B) = 0.12 > 0；由互斥得 P(AB) = 0。同一個量既等於 0.12 又等於 0，矛盾。故兩者不能並存。唯一例外是至少一個事件概率為 0，此時 P(A)P(B)=0 與 P(AB)=0 相容。

條件概率：獨立時 P(A|B) = P(AB)/P(B) = 0.12/0.3 = 0.4，等於 P(A) 本身，這正是「B 發生不影響 A」的量化寫法；互斥時 P(A|B) = 0/0.3 = 0.0，B 一發生 A 就不可能，影響是滿的。

回代核驗：0.4 = 0.4，與獨立定義一致；0.0 = 0，與互斥定義一致。兩個條件概率一等於原概率、一歸零，正好把兩種關係區分到底。

答案　反證得 P(AB) 既 0.12 又 0 故矛盾；獨立時 P(A|B)=0.4=P(A)，互斥時 0.0

採分點　反證結構 3 分；例外說明 1 分；兩個條件概率各 2 分；與定義對應 2 分；回代 1 分

易錯點　漏掉「至少一個概率為 0」的例外；把互斥時 P(A|B) 寫成 P(A)

三、規律小結與對照表

小結：獨立用乘法、互斥給 0；本例並事件概率 0.58 對 0.7，差 0.12 恰是 P(AB)。非零概率下兩者不能並存，條件概率 0.4 對 0.0 把區別寫到底。數值均為自編示意。

四、自測清單

• 能用乘法公式算獨立時的 P(AB)
• 能用加法公式算兩種並事件概率
• 能用反證說明兩者不能並存
• 知道概率為 0 時的例外
• 能算兩種情形的 P(A|B)
• 能把差值與 P(AB) 對應起來