題目性質：自編仿真題——題目、材料、選項、數據與情境均為按課程標準與聯招常見考點獨立編寫的原創仿真題，非真題原文，未取自任何題庫、教輔或試卷；解析與採分點為教研整理，非官方評分標準。
一、考點定位與做題順序
求 (1+2x)⁸ 展開式裡係數最大的項，標準做法是看相鄰兩項係數之比：設第 r+1 項係數 a(r) = C(8,r)·2^r，算 a(r+1)/a(r) = [C(8,r+1)·2^(r+1)]/[C(8,r)·2^r] = 2(8−r)/(r+1)。
比值大於 1 時係數還在漲，小於 1 時開始降；但比值「恰等於 1」時相鄰兩項相等，必須單獨判成並列，不能順手寫成「唯一最大項」。下面按題面現算。
二、逐題精講
題1
題1 求 (1+2x)⁸ 展開式中係數最大的項，並求所有項的係數和。
解析
a(r+1)/a(r) = 2(8−r)/(r+1)。令其 ≥ 1：16 − 2r ≥ r + 1，即 15 ≥ 3r，r ≤ 5。所以 r=0…5 時係數不降，r≥6 後開始降。但要點在 r=5：比值 = 2(8−5)/(5+1) = 2×3/6 = 1.0，恰等於 1，說明 a(5) 與 a(6) 相等。
實算：a(5) = C(8,5)·2^5 = 56×32 = 1792；a(6) = C(8,6)·2^6 = 28×64 = 1792。兩者同為 1792，故第 5+1 項與第 6+1 項並列最大，係數都是 1792。
係數和用賦值法：令 x=1，(1+2)⁸ = 3⁸ = 6561。回代核驗：前一段比值 a(5)/a(5−1) = 1.6 ≥ 1，後一段 a(6+1)/a(6) = 0.5714 < 1，轉折位置閉合，且 1792=1792 不是取位巧合。
答案 第 6 項與第 7 項並列最大，係數均為 1792；係數和 6561
採分點 寫出相鄰係數比 2(8−r)/(r+1) 2 分；解出 r≤5 2 分；發現比值等於 1 並判並列 3 分；兩個係數值 1 分；賦值法系數和 1 分；前後比值回代 1 分
易錯點 解出 r≤5 就答「第 6 項唯一最大」；把係數和寫成 2⁸
題2
題2 若按「r≤5 故第 5+1 項唯一最大」作答，會漏掉什麼？用相鄰比值說明為什麼必須驗 r=5 處。
解析
會漏掉第 6+1 項。因為不等式只給出「不降」的區間，邊界 r=5 處比值恰為 1.0，意味著 a(6) 與 a(5) 相等而不是變小；只有再往一步，r=6 處比值 = 2(8−6)/(6+1) = 0.5714 < 1，才真正開始下降。
換句話說，增減性判定要給「等於」單獨留一格：大於 1 遞增、等於 1 並列、小於 1 遞減。本例 C(8,5)2^5 = 1792 與 C(8,6)2^6 = 1792 完全相同，是精確相等，不是四捨五入。
回代核驗：1792/1792 = 1.0；1.6 ≥ 1、1.0 = 1、0.5714 < 1 三段連起來，正好把「升—平—降」寫全；係數和 6561 與單項最大值 1792 不衝突，一個是總和一個是單項。
答案 漏掉第 6+1 項；r=5 處比值 1.0=1 使兩項並列，須驗到 r=6 處比值 0.5714<1 才下降
採分點 指出漏項 1 分；等於 1 單獨留格 2 分；三段比值 3 分；精確相等非取位 1 分；係數和與單項區分 1 分；回代 1 分
易錯點 把「等於 1」並進「大於 1」或「小於 1」；認為兩項相等是取位誤差
三、規律小結與對照表
| r 段 | 比值 | 係數變化 | 結論 |
|---|---|---|---|
| r<5 | >1 | 遞增 | 未到最大 |
| r=5 | =1.0 | 相等 | 兩項並列 |
| r=6 | 0.5714<1 | 遞減 | 開始下降 |
| 賦值 x=1 | — | — | 和 6561 |
小結：相鄰係數比解到 r≤5 還不夠，r=5 處比值 1.0=1 說明第 6、7 項並列最大、係數同為 1792；令 x=1 得係數和 6561。題面數值均為自編示意。
四、自測清單
- 能寫出相鄰係數比 2(8−r)/(r+1)
- 能由比值 ≥1 解出 r 的範圍
- 知道比值等於 1 時兩項並列
- 能實算兩個並列項的係數
- 能用賦值法求係數和
- 能區分系數總和與單項最大值
