題目性質：自編仿真題——題目、材料、選項、數據與情境均為按課程標準與聯招常見考點獨立編寫的原創仿真題，非真題原文，未取自任何題庫、教輔或試卷；解析與採分點為教研整理，非官方評分標準。
一、考點定位與做題順序
自編示意電源：電動勢 E = 6.00 V，內阻 r = 1.00 Ω，外接純電阻 R。閉合電路歐姆定律 I = E/(R+r)，於是
P出 = I²R = E²R/(R+r)²；η = P出/P總 = I²R/(IE) = R/(R+r)；內耗功率 P內 = I²r；總功率 P總 = EI。
先記住一個反直覺點：η 隨 R 單調增大（R→∞ 時 η→1），而 P出 在 R=r 處取極大後反而下降。最大功率點效率只有 50%，「最省電」和「輸出最多」是兩件事。下面五組負載為自編示意數值。
二、逐題精講
題1
題1 功率曲線、匹配條件與同功率雙解
取 R = 0.50、1.00、2.00、4.00、9.00 Ω。(1) 逐組求 I、U = IR、P出、P內、P總 與 η，列成表；指出最大輸出功率出現在哪一點，並用配方法與求導兩路證明 R = r 時最大、給出 Pmax。(2) 表中哪兩組 R 的 P出 相同？求它們的乘積，並證明「同一輸出功率（小於最大值）對應兩個負載，且 R₁R₂ = r²」。
解析
(1) 逐組計算（E=6.00 V、r=1.00 Ω，I=6/(R+1)，P出=36R/(R+1)²）：R=0.50：I=4.000 A，U=2.000 V，P出=8.000 W，P內=16.000 W，P總=24.000 W，η=0.3333
R=1.00：I=3.000 A，U=3.000 V，P出=9.000 W，P內=9.000 W，P總=18.000 W，η=0.5000
R=2.00：I=2.000 A，U=4.000 V，P出=8.000 W，P內=4.000 W，P總=12.000 W，η=0.6667
R=4.00：I=1.200 A，U=4.800 V，P出=5.760 W，P內=1.440 W，P總=7.200 W，η=0.8000
R=9.00：I=0.600 A，U=5.400 V，P出=3.240 W，P內=0.360 W，P總=3.600 W，η=0.9000
衡算自檢：每行都滿足 P總 = P出 + P內 = EI、U + Ir = E。例如 R=0.50：8.000+16.000=24.000=6.00×4.000 ✓，2.000+4.000×1.00=6.000 ✓。
最大輸出功率 9.000 W 出現在 R=1.00 Ω=r。
配方法證明：P = E²R/(R+r)² = E²/[ (√R − r/√R)² + 4r ]，因為 (R+r)²/R = R + 2r + r²/R = (√R − r/√R)² + 4r ≥ 4r。故 P ≤ E²/(4r)，等號當 √R = r/√R 即 R=r；Pmax = 36/(4×1) = 9.00 W ✓。
求導證明：dP/dR = E²[(R+r)² − 2R(R+r)]/(R+r)⁴ = E²(r − R)/(R+r)³；R<r 時為正、R>r 時為負，故 R=r 是極大值點 ✓ 兩路一致。
(2) 同功率雙解：表中 R=0.50 與 R=2.00 都給出 P出=8.000 W；乘積 0.50×2.00 = 1.00 = r²（r=1.00）。
一般證明：令 P = E²R/(R+r)² = p（常數），整理得 pR² + (2pr − E²)R + pr² = 0。這是關於 R 的二次方程，由韋達定理兩根之積 = pr²/p = r² ✓，與 p 無關。
判別式 Δ = (E²−2pr)² − 4p²r² = E⁴ − 4pE²r = E²(E² − 4pr)；當 p < E²/(4r) = Pmax 時 Δ>0，有兩個正根；p = Pmax 時 Δ=0，兩根重合於 R=r；p > Pmax 無解 ✓ 與表中「8 W 兩解、9 W 唯一解」完全對應。
本題驗算：p=8，方程為 8R² + (16−36)R + 8 = 0 → 8R² −20R+8=0 → 2R²−5R+2=0 → R=0.5 或 2 ✓。
答案 (1) 五組表見上；Pmax=9.00 W 在 R=r=1.00 Ω，配方法 P≤E²/4r 與求導 dP/dR=E²(r−R)/(R+r)³ 兩路一致。(2) R=0.50 與 2.00 同為 8.00 W，乘積 1.00=r²；由韋達定理同一 p<Pmax 的兩根之積恆為 r²，Δ>0 時雙解、Δ=0 時重合於 R=r。
採分點 五組 I/U/P出 各 1 分（合計 3 分）；每行 P總=P出+P內=EI 與 U+Ir=E 衡算 1 分；指出 Pmax=9 W 在 R=r 1 分；配方法推導與 P≤E²/4r 1 分；求導與符號判斷 1 分；找出 0.50 與 2.00 同為 8 W 1 分；乘積 =r² 1 分；韋達定理一般證明 1 分；判別式三種情形 1 分。
易錯點 把 P總 寫成 EI 卻漏算 P內，或把 η 當成 P出/P內；認為 R 越大輸出功率越大（被 U 單調上升帶偏）；配方法裡把 (R+r)²/R 展開漏掉 2r；求導後不判符號就說是極大；把同功率雙解的乘積寫成 r 或 2r；忘記「p<Pmax 才有兩個正根」這一前提。
題2
題2 效率、內耗與測量誤差方向
(1) 證明 η = R/R+r 隨 R 單調增大並趨於 1，同時說明為什麼最大功率點效率只有 50%、此時內耗佔多少；若把負載從 1.00 Ω 換成 9.00 Ω，輸出功率與效率各變化多少。(2) 實驗中若把內阻 r 誤測為 1.20 Ω（真值 1.00 Ω），其餘 E 與 R 讀數不變：按誤測值算出的 Pmax 與「匹配負載」各是多少？說明是偏大還是偏小；再判斷「只測 U、I 算 P=UI」能否避開這一誤差。
解析
(1) 單調性：η = R/(R+r) = 1 − r/(R+r)。r>0 固定，R 增大時 r/(R+r) 減小，故 η 單調增大；R→∞ 時 η→1，R→0 時 η→0。求導可再驗：dη/dR = r/(R+r)² > 0 ✓。最大功率點 η=50% 的理由：R=r 時 P出 = I²R、P內 = I²r 兩者相等，總功率一半給負載、一半耗在內阻上，故 η = P出/(P出+P內) = 1/2。本題數值：R=1.00 時 P出=P內=9.000 W，P總=18.000 W，內耗佔 50%（9.000 W）。結論：「輸出最多」與「最省電」不可兼得；追求效率要把 R 做遠大於 r，此時輸出功率反而變小。
從 1.00 Ω 換到 9.00 Ω：P出 由 9.000 W 降到 3.240 W，減少 5.760 W，相對 −64.0%；η 由 0.5000 升到 0.9000，提高 0.4000（40 個百分點），相對 +80%。內耗由 9.000 W 降到 0.360 W（−96%），總功率由 18.000 W 降到 3.600 W。注意表述：η 從 50% 到 90% 應說「提高 40 個百分點」或「相對提高 80%」，不能說「提高 40%」——百分點與百分比的區分是這類題的隱藏採分點。
(2) 誤測 r 的後果：按 r′=1.20 Ω 計算，匹配負載會判成 R=1.20 Ω（比真實最佳 1.00 Ω 偏大 20%）；Pmax′ = E²/(4r′) = 36/4.80 = 7.500 W，比真實 Pmax=9.000 W 偏小 16.7%。
回代看實際會怎樣：若真按 R=1.20 Ω 接負載，真實電路 I = 6.00/(1.20+1.00) = 2.7273 A，實際 P出 = I²×1.20 = 8.9256 W，仍低於 9.000 W 但高於按誤測公式算的 7.500 W——說明誤測 r 會同時選錯匹配點和低估可達功率，兩者不是同一個偏差。
能否用 P=UI 避開：能避開公式誤差，但避不開選點誤差。P = UI 直接由實測端電壓與電流相乘得到，不依賴 r 的取值，所以每一組負載下的實際輸出功率讀數是準的；但「哪個 R 是匹配點、Pmax 的理論值是多少」仍要靠 r，誤測 r 會讓你把 1.20 Ω 當成最優並停在 8.93 W 上，不知道 1.00 Ω 還有 9.00 W。正確做法是直接用實測 U、I 畫 P–R 曲線取極大，或先由 U=E−Ir 的 U–I 斜率重新標定 r（與 00185 安阻/伏阻法測 E、r 同一思路），再算匹配點。
另提醒：電壓表分流、電流表內阻會使 U、I 本身帶系統誤差，P=UI 並非「絕對準」；本題結論限於「不引入 r 誤測這一項誤差」。
答案 (1) η=1−r/(R+r) 單調增趨於 1；R=r 時 P出=P內，η=50%、內耗佔一半（本題各 9.000 W）；換到 9.00 Ω 後 P出 9.000→3.240 W（−64.0%），η 0.5000→0.9000（提高 40 個百分點、相對 +80%）。(2) 誤測 r=1.20 Ω 會把匹配點判成 1.20 Ω（偏大 20%）、Pmax 算成 7.500 W（偏小 16.7%）；實際接 1.20 Ω 得 8.9256 W，仍低於真值 9.000 W。P=UI 可避開公式誤差但避不開選點誤差，宜實測 P–R 曲線或由 U–I 斜率重標 r。
採分點 η 單調性推導與 dη/dR>0 各 1 分；最大功率點 η=50% 與內耗 9.000 W 1 分；換負載後 P出 與 η 變化數值各 1 分；用「百分點」表述 1 分；誤測後匹配點 1.20 Ω 與 Pmax′=7.500 W 各 1 分；兩個偏差方向 1 分；實際 8.9256 W 回代 1 分；P=UI 能避開公式誤差、避不開選點誤差 1 分；給出實測 P–R 或 U–I 重標 r 的處置 1 分。
易錯點 把 η 與 P出 混成一個單調量；說「最大功率時效率最高」；把 50%→90% 說成「提高 40%」；誤測 r 後只改 Pmax 不改匹配點；認為 P=UI 能完全消除 r 誤測影響；忘記回代真實電路看實際功率；忽略電壓表分流/電流表內阻本身的系統誤差。
三、規律小結與對照表
| 量 | 公式 | R=0.50 | R=1.00=r | R=2.00 | R=4.00 | R=9.00 |
|---|---|---|---|---|---|---|
| I (A) | E/(R+r) | 4.000 | 3.000 | 2.000 | 1.200 | 0.600 |
| U (V) | IR | 2.000 | 3.000 | 4.000 | 4.800 | 5.400 |
| P出 (W) | E²R/(R+r)² | 8.000 | 9.000 | 8.000 | 5.760 | 3.240 |
| P內 (W) | I²r | 16.000 | 9.000 | 4.000 | 1.440 | 0.360 |
| P總 (W) | EI | 24.000 | 18.000 | 12.000 | 7.200 | 3.600 |
| η | R/(R+r) | 0.3333 | 0.5000 | 0.6667 | 0.8000 | 0.9000 |
| 匹配條件 | R=r | — | Pmax=E²/4r=9.00 W | 同功率雙解 | — | — |
| 雙解 | R₁R₂=r² | 0.50×2.00=1.00 | Δ=0 重合 | 8.000 W | — | — |
| 效率變化 | 1→9 Ω | — | η 0.5→0.9 | — | — | P出 −64.0% |
| r 誤測 1.20 | Pmax′=7.500 W | 匹配點 1.20 Ω | 偏小 16.7% | 實際 8.9256 W | — | — |
電源這組數據把兩件事分得清清楚楚：輸出功率在 R=r 處封頂（本題 9.00 W，配方法與求導兩路都指向它），效率卻一路單調升到 1——最大功率點恰好一半能量耗在內阻上，η 只有 50%。同一輸出功率（小於最大值）總有兩個負載，乘積恆為 r²，表中 0.50 與 2.00 都是 8.00 W 正好印證。誤測 r 會同時選錯匹配點、低估可達功率，而 P=UI 只救得了讀數、救不了選點。所有參數均為自編示意，不代表真實電源規格。
四、自測清單
- □ 每行都驗 P總=P出+P內=EI 與 U+Ir=E；
- □ P出=E²R/(R+r)²，η=R/(R+r)，兩者別混；
- □ 最大功率在 R=r，Pmax=E²/4r，此時 η=50%；
- □ 同功率雙解滿足 R₁R₂=r²，且只在 p<Pmax 時存在；
- □ 效率從 50% 到 90% 說「40 個百分點」，別說「提高 40%」；
- □ r 誤測時區分「公式誤差」與「選點誤差」，P=UI 只避前者。
