聯招物理·電位差計補償法測電動勢與內阻

題目性質：自編仿真題——題目、材料、選項、數據與情境均為按課程標準與聯招常見考點獨立編寫的原創仿真題，非真題原文，未取自任何題庫、教輔或試卷；解析與採分點為教研整理，非官方評分標準。

一、考點定位與做題順序

補償法的全部秘密在一句：平衡時檢流計指零，被測電池迴路中沒有電流。所以工作迴路只在電阻絲上建立均勻的電位梯度 k（V/cm），被測電池不輸出電流，平衡長度 L 對應的 kL 就是它的開路電動勢，不摻入內阻壓降。這與伏安法「一邊取電流一邊測端電壓」根本不同。

三步固定：標準化（用已知標準電池 Es 平衡於長度 Ls，得 k = Es/Ls）→ 測 E（未知電池平衡長度 Lx，E = kLx）→ 測 r（外接已知負載 R，讀帶載平衡長度 Lr 得端電壓 U = kLr，由 I = U/R、r = (E−U)/I 反推）。關鍵前提：工作電流在三次測量中保持不變，故測量順序中途不得改動工作迴路變阻器；工作電源電動勢必須大於被測電動勢，否則長端也無法平衡。下面數據為自編示意。

二、逐題精講

題1

題1 標準化、測 E 與測 r（數值題）

自編示意實驗：標準電池 Es = 1.0180 V，平衡長度 Ls = 50.90 cm；換接未知電池，平衡長度 Lx = 75.00 cm；再在該電池兩端接 R = 9.50 Ω 的負載，重新平衡得 Lr = 71.25 cm。三次測量間工作迴路未作調整，電阻絲均勻，接觸電阻與檢流計靈敏度影響忽略。
求：(1) 電位梯度 k；(2) 未知電池電動勢 E；(3) 帶載端電壓 U、迴路電流 I 與內阻 r；(4) 用 E = U + Ir 回代驗證。

解析

(2) 測 E： E = k·Lx = 0.02000 × 75.00 = 1.5000 V。此值不摻內阻壓降，因為平衡時被測迴路電流為零。

(3) 帶載： U = k·Lr = 0.02000 × 71.25 = 1.4250 V；
I = U / R = 1.4250 / 9.50 = 0.1500 A；
內阻壓降 E − U = 1.5000 − 1.4250 = 0.0750 V，故 r = (E − U)/I = 0.0750 / 0.1500 = 0.500 Ω。
也可一步式 r = R(E/U − 1) = 9.50 × (1.5000/1.4250 − 1) = 9.50 × (1/19) ≈ 0.500 Ω ✓。

(4) 回代： U + I r = 1.4250 + 0.1500 × 0.500 = 1.4250 + 0.0750 = 1.5000 V = E ✓。另可反算 Lr：U = E·R/(R+r) = 1.5000×9.50/10.00 = 1.4250 V，Lr = U/k = 71.25 cm，與題給一致，三處閉合。

為什麼這樣測比伏安法乾淨： 測 E 那一步被測電池不輸出電流，電壓表內阻不再分流；測 r 那一步的電流由 U 與已知負載 R 算出，不依賴電流表讀數，故兩種表內阻引起的系統誤差都不進入結果。

答案　(1) k = 0.02000 V/cm；(2) E = 1.5000 V；(3) U = 1.4250 V，I = 0.1500 A，r = 0.500 Ω；(4) U+Ir = 1.5000 V = E ✓。

採分點　k 的定義與數值 2 分；E = kLx 2 分；U、I 各 1 分；r 的兩種算法各 1 分；回代閉合 1 分；說明「平衡時被測迴路無電流、不引入表內阻誤差」2 分。

易錯點　把 Ls、Lx、Lr 混用，拿 Lx 去除 Es；誤以為帶載時平衡長度對應電動勢（其實對應端電壓）；把 I 算成 E/R 而非 U/R；忘記三次測量間工作電流須不變，中途調變阻器導致 k 失效；把 r 寫成 (E−U)/E·R 一類量綱不對的式子。

題2

題2 偏差方向判定與條件辨析

(1) 若實驗者把負載電阻誤記為 10.00 Ω（實際仍為 9.50 Ω），按題1 的 U、E 重算 r，結果是多少？相對真值偏大還是偏小？
(2) 下列三種情形各會導致什麼後果：① 工作電源電動勢低於被測電池電動勢；② 標準化後中途調小了工作迴路變阻器；③ 把標準電池 Es 實際值 1.0200 V 誤按 1.0180 V 計算。
(3) 為什麼標準化要用標準電池而不能用普通電壓表直接讀工作電流？

解析

(2) ① 無法平衡：工作迴路在電阻絲全長上的最大補償電壓 k·L總 小於被測 E，檢流計始終單向偏轉，找不到零點；必須換更高電動勢的工作電源或降低工作電流分配比。
② k 變大，全部結果系統性偏大：調小工作迴路變阻器使工作電流增大，電位梯度 k 上升，而標準化得到的舊 k 已失效；仍用舊 k 去乘 Lx、Lr，會把 E、U 一併高估。故標準化後嚴禁再動工作迴路，若動了須重新標準化。
③ E 與 U 同比例偏小：按 1.0180 算得 k_used = 0.02000，真實應為 1.0200/50.90 ≈ 0.020039 V/cm，比值 1.0180/1.0200 ≈ 0.99804，故 E、U 均偏小約 0.196%；但 r = (E−U)/(U/R) = R(E/U − 1) 中 E/U 的比值不變，所以 r 幾乎不受影響——這是補償法一個值得記住的性質：整體標定誤差對 r 的比值型結果抵消。

(3) 普通電壓表測的是自身兩端電壓，且接入即分流、內阻有限，無法給出電阻絲上「每釐米多少伏」的絕對梯度；用電壓表讀工作電流還要知道電阻絲單位長度電阻與溫度狀態，誤差鏈更長。標準電池提供的是已知且穩定的電動勢，與一段可精確讀出的平衡長度相配，直接把長度標定成電壓，屬於比較法/零示法，平衡時又不從標準電池取電流，故不損傷其電動勢值。

答案　(1) r′ ≈ 0.5263 Ω，偏大約 +5.3%（R 記大→I 偏小→r 偏大）。(2) ① 全程無法平衡；② k 變大，仍用舊 k 使 E、U 系統性偏大，須重新標準化；③ E、U 各偏小約 0.196%，r 因 E/U 比值不變基本不受影響。(3) 標準電池＋平衡長度給出絕對電位梯度，零示不取電流，電壓表分流且無法標定梯度。

採分點　(1) 數值與方向各 1 分；(2) 三情形各 2 分（現象 1 分＋原因 1 分）；(3) 零示不取電流 1 分、絕對梯度 1 分、電壓表分流 1 分；指出 r 的比值抵消 1 分。

易錯點　把「R 記大」的方向判成 r 偏小；②只答「結果不準」而不指出 k 已變且須重新標準化；③誤以為 r 也同比例偏小，忽略 E/U 的比值抵消；把①答成「換更靈敏檢流計即可」（靈敏度隻影響零點分辨，不改變補償電壓上限）。

三、規律小結與對照表

補償法把「測電壓」變成了「量長度」：先用標準電池把電阻絲標成一把電壓尺，再用平衡長度讀數。三條紀律要記牢——標準化後不動工作迴路、帶載平衡長度讀的是端電壓而非電動勢、電流由 U/R 算而非 E/R。最後一定做一次 U + I r = E 的回代，閉合了才算數。本文電池參數、電阻與長度均為自編示意數值，不代表任何真實器件規格。

四、自測清單

• □ 先算 k = Es/Ls，寫清單位 V/cm；
• □ 標準化後不再調工作迴路變阻器，動了就重新標準化；
• □ 開路平衡長度 → E；帶載平衡長度 → U，兩者不混；
• □ I = U/R（不是 E/R），r = (E−U)/I 或 R(E/U−1)；
• □ 做一次 U+Ir=E 回代，並反算 Lr 與題給比對；
• □ 偏差題先判「哪個量被改了、沿哪條式子傳導」，再定方向。