聯招數學·同角三角函數齊次式求值與弦化切

題目性質：自編仿真題——題目、材料、選項、數據與情境均為按課程標準與聯招常見考點獨立編寫的原創仿真題，非真題原文，未取自任何題庫、教輔或試卷；解析與採分點為教研整理，非官方評分標準。

一、考點定位與做題順序

先分清兩類式子的差別：一次齊次式（如 (2sinα − cosα)/(sinα + 3cosα)）分子分母同除 cosα 後，結果就是原式的值；二次齊次式（如 sin²α + sinαcosα − 2cos²α）同除 cos²α 後得到的是「原式 ÷ cos²α」，必須再乘回 cos²α = 1/(1+tan²α) 才是所求值。這一乘，是最常見的失分處。

三個萬能公式（由 tanα = t 直接給出）：sin²α = t²/(1+t²)，cos²α = 1/(1+t²)，sinαcosα = t/(1+t²)，sin2α = 2t/(1+t²)，cos2α = (1−t²)/(1+t²)。下面數據為自編示意，全部經代數回代驗證。

二、逐題精講

題1

題1 一次齊次與二次齊次（含兩路互驗）

自編：已知 tanα = 2。

(1) 求 (2sinα − cosα)/(sinα + 3cosα) 的值；(2) 求 sin²α + sinαcosα − 2cos²α 的值，並說明為什麼不能只停在「除以 cos²α」那一步；(3) 用 sin²α + cos²α = 1 獨立驗算 (2)。

解析

(2) 二次齊次，除完要乘回：設原式為 E。先把 E 寫成含 tan 的形式：E/cos²α = tan²α + tanα − 2 = 4 + 2 − 2 = 4。
但 4 是 E ÷ cos²α 的值，不是 E。由 cos²α = 1/(1+tan²α) = 1/(1+4) = 1/5，故
E = 4 × cos²α = 4 × (1/5) = 4/5。

為什麼不能停在那一步：除以 cos²α 是一次等價變形的「縮放」，它把原式整體放大了 1/cos²α 倍；除非題目本身給的是分式（分子分母同次、縮放相消），否則必須還原。寫「因為原式不是分式，除以 cos²α 改變了式子的值」才是採分表述。

(3) 獨立驗算：由 tanα = 2 與 sin²α + cos²α = 1，得 sinα = 2cosα → 4cos²α + cos²α = 1 → cos²α = 1/5、sin²α = 4/5、sinαcosα = tanα·cos²α = 2/5。
代入原式：4/5 + 2/5 − 2×(1/5) = (4 + 2 − 2)/5 = 4/5 ✓ 與 (2) 一致。兩路互驗通過。

答案　(1) 3/5；(2) 4/5（先得 E/cos²α=4，再乘 cos²α=1/5）；(3) 由 sin²=4/5、cos²=1/5、sincos=2/5 代入亦得 4/5。

採分點　(1) 同除 cosα 的變形 1 分；結果 3/5 1 分；說明與象限無關 1 分；(2) 寫出 E/cos²α 的化簡 2 分；得出 4 1 分；指出須乘回並說明縮放理由 2 分；cos²α=1/5 1 分；E=4/5 1 分；(3) 三個分量各 1 分；代入結果 1 分。

易錯點　把 (2) 的答案直接寫成 4（漏乘 cos²α）；同除時把 cosα=0 的情形忘了排除（tan 存在已保證不為 0，但最好寫一句）；(3) 裡把 sinαcosα 算成 tanα·sin²α；把 cos2α 萬能公式與 cos²α 混淆。

題2

題2 二倍角、符號校驗與給值求角範圍

自編：已知 tanα = 2，且 α ∈ (0, π)。

(1) 求 sin2α、cos2α 與 sin2α + cos2α；(2) 由 tanα = 2 判斷 α 的範圍，並用它校驗 (1) 的符號；(3) 求 sin(2α − π/6) 的值（保留根式）。

解析

(2) 範圍與符號校驗：α ∈ (0, π) 且 tanα = 2 > 0，故 α 只能在第一象限，即 α ∈ (π/4, π/2)（因 tan(π/4)=1 < 2，且 tan 在 (0, π/2) 遞增）。於是 2α ∈ (π/2, π)，為第二象限角：sin2α > 0、cos2α < 0。與 (1) 算出的 +4/5、−3/5 完全吻合 ✓。
這一校驗很有用：若題目改成 α ∈ (π/2, π)，tanα 應為負，與 tanα=2 矛盾，條件集不相容——寫這一句能體現「給值必驗範圍」的習慣。

(3) 差角公式：
sin(2α − π/6) = sin2α cos(π/6) − cos2α sin(π/6)
= (4/5)(√3/2) − (−3/5)(1/2) = 2√3/5 + 3/10 = (4√3 + 3)/10。
數值 ≈ (4×1.7321 + 3)/10 = (6.928 + 3)/10 = 0.9928，小於 1 且為正，與 2α − π/6 ∈ (π/3, 5π/6) 的正弦合理區間一致 ✓。
符號檢查：−cos2α·sin(π/6) 中 cos2α 為負，負負得正，這一處最易漏號，務必單獨圈出來。

答案　(1) sin2α=4/5，cos2α=−3/5，sin2α+cos2α=1/5；(2) α∈(π/4,π/2) ⇒ 2α∈(π/2,π)，sin正cos負，與結果一致；(3) sin(2α−π/6)=(4√3+3)/10 ≈ 0.993。

採分點　萬能公式寫出 1 分；三個數值各 1 分；平方和校驗 1 分；範圍推導 2 分；符號校驗 2 分；條件不相容的補充 1 分；差角公式 2 分；根式結果 1 分；漏號檢查 1 分。

易錯點　把 cos2α 寫成 (t²−1)/(1+t²) 得 +3/5（分子順序反）；範圍只寫「α 是銳角」不給 π/4 的下界；差角公式裡 −cos2α·sin(π/6) 漏掉負負得正；把 sin(2α−π/6) 展開成 sin2αcosπ/6 + cos2αsinπ/6；不驗 sin²+cos²=1。

三、規律小結與對照表

弦化切這塊的分數，幾乎全押在「二次齊次式除完要乘回 cos²α」和「給值必驗角的範圍」兩件事上。分式同次可以相消，非分式就必須還原；算出 sin2α、cos2α 後拿象限符號對一遍，正負錯了立刻能發現。本題數據均為自編示意，全部經代數與數值回代驗證。

四、自測清單

• 先判式子是一次齊次還是二次齊次：分式可直接除，非分式要乘回
• 同除前寫一句 cosα≠0（tan 存在即保證）
• 把 sin²、cos²、sincos、sin2α、cos2α 五個萬能公式列在草稿上
• 求完用 sin²+cos²=1 或 sin²2α+cos²2α=1 校驗一次
• 給 tan 值必推 α 的象限，用符號核對結果正負
• 差角公式注意 cos2α 為負時的負負得正，單獨圈出來