題目性質：自編仿真題——題目、材料、選項、數據與情境均為按課程標準與聯招常見考點獨立編寫的原創仿真題，非真題原文，未取自任何題庫、教輔或試卷；解析與採分點為教研整理，非官方評分標準。
一、考點定位與做題順序
由圖象求解析式，三個參數各有各的入口，別混著猜：A 看最值（A = (最大值 − 最小值)/2，A > 0）、ω 看週期（ω = 2π/T，T 由相鄰兩個同相位點——如相鄰兩個最大值——的橫座標差得到）、φ 看特殊點（把最值點或零點代入，解出 φ 的通解再取 |φ| < π 或題給範圍內的值）。
最容易丟分的是第三步：代入一個非最值點時，sin θ = 某個非 ±1 的值會給出兩個 φ 候選。此時必須用該點處圖象的升降趨勢——也就是 f′(x) = Aω cos(ωx + φ) 的符號——捨去一個。下面圖象信息為自編示意，全部經解析式回代驗證。
二、逐題精講
題1
題1 三步定參（含 φ 的兩解取捨）
自編圖象信息：函數 f(x) = A sin(ωx + φ)（A > 0，ω > 0，|φ| < π/2）的部分圖象滿足：最大值為 3、最小值為 −3；相鄰兩個最大值點橫座標分別為 π/6 與 7π/6；圖象過點 (0, 3/2)，且在該點處單調遞增。
(1) 求 A、ω；(2) 求 φ 並說明舍根理由；(3) 寫出解析式並回代檢驗點 (0, 3/2)。
解析
(1) A = (3 − (−3))/2 = 3。相鄰兩個最大值點間距即週期 T = 7π/6 − π/6 = π，故 ω = 2π/T = 2π/π = 2。
(2) 此時 f(x) = 3 sin(2x + φ)。代入 (0, 3/2)：3 sin φ = 3/2 → sin φ = 1/2。
在 |φ| < π/2 內，候選為 φ = π/6；若不限制範圍，另一解為 φ = 5π/6 + 2kπ（一般地 φ = π/6 + 2kπ 或 φ = 5π/6 + 2kπ）。
用升降趨勢舍根：f′(x) = 3·2·cos(2x + φ) = 6 cos(2x + φ)。在 x = 0 處圖象遞增，需 f′(0) = 6 cos φ > 0。
φ = π/6 時 cos(π/6) = √3/2 > 0 ✓；φ = 5π/6 時 cos(5π/6) = −√3/2 < 0，對應遞減 ✗，捨去。
（也可借最值點直接定：x = π/6 處取最大值 3，故 2·(π/6) + φ = π/2 + 2kπ → φ = π/6 + 2kπ，取 |φ| < π/2 得 φ = π/6，一步到位；兩條路徑互相印證。）
(3) f(x) = 3 sin(2x + π/6)。
回代：f(0) = 3 sin(π/6) = 3×(1/2) = 3/2 ✓；f′(0) = 6 cos(π/6) = 3√3 > 0，確實遞增 ✓；f(π/6) = 3 sin(π/3 + π/6) = 3 sin(π/2) = 3，為最大值 ✓；f(7π/6) = 3 sin(7π/3 + π/6) = 3 sin(5π/2) = 3 ✓。四項全對，解析式成立。
答案 (1) A = 3，ω = 2；(2) φ = π/6（舍 φ = 5π/6，因 x=0 處需 f′>0 而 cos(5π/6)<0）；(3) f(x) = 3sin(2x + π/6)，四點回代均成立。
採分點 A 由最值求出 1 分；T 由相鄰最值點求出 1 分；ω = 2π/T 1 分；代入 (0,3/2) 得 sinφ=1/2 1 分；寫出兩候選 1 分；用 f′(0)>0 舍根 2 分；解析式 1 分；回代檢驗 2 分。
易錯點 把 A 寫成 6（忘記除以 2）；把相鄰最大值間距當成半週期 T/2；sinφ=1/2 只寫一個解、不討論取捨；用「φ 取銳角」這種直覺代替導數符號；忘記檢驗 f(7π/6) 是否也是最大值。
題2
題2 單調區間與指定點求值（兩路互驗）
承接題1。(1) 求 f(x) 的單調遞增區間；(2) 求 f(π/12)，並用「相位疊加」與「和角公式」兩路驗算；(3) 若把題1 中「x=0 處遞增」改為「遞減」，φ 應取哪個值？
解析
(1) 令 −π/2 + 2kπ ≤ 2x + π/6 ≤ π/2 + 2kπ（k ∈ Z）：−π/2 − π/6 + 2kπ ≤ 2x ≤ π/2 − π/6 + 2kπ → −2π/3 + 2kπ ≤ 2x ≤ π/3 + 2kπ，
除以 2 得 −π/3 + kπ ≤ x ≤ π/6 + kπ（k ∈ Z）。注意週期是 π，所以區間也按 kπ 重複，不是 2kπ，這是常見錯。
回代驗區間：取 k = 0 得 [−π/3, π/6]，x = 0 在其中且 f′(0) > 0 ✓；端點 x = π/6 處相位 = π/2，正是最大值點，符合「增到最值」✓。
(2) 第一路（相位疊加）：f(π/12) = 3 sin(2·π/12 + π/6) = 3 sin(π/6 + π/6) = 3 sin(π/3) = 3√3/2 ≈ 2.598。
第二路（和角公式）：3 sin(2x + π/6) = 3[ sin2x cos(π/6) + cos2x sin(π/6) ]。x = π/12 時 2x = π/6，故 = 3[ (1/2)(√3/2) + (√3/2)(1/2) ] = 3[ √3/4 + √3/4 ] = 3·√3/2 = 3√3/2 ✓ 兩路一致。且 3√3/2 < 3，符合最大值上界。
(3) sin φ = 1/2 不變，但需 f′(0) = 6 cos φ < 0，故取 φ = 5π/6（cos(5π/6) = −√3/2 < 0）。此時解析式為 f(x) = 3 sin(2x + 5π/6)，f(0) 仍為 3/2 但曲線下行；同時最值點會移到 x = −π/6 等位置，與題1 給的「最大值點在 π/6」不再相容——所以要寫明：若只改升降條件、保留其它圖象信息，則條件集自相矛盾；若只保留「過 (0,3/2) 且遞減」，答案才是 φ = 5π/6。這一句能體現「改一個條件要看它和其餘條件是否還相容」。
答案 (1) 增區間 [−π/3 + kπ, π/6 + kπ]，k∈Z；(2) f(π/12)=3√3/2，相位疊加與和角公式兩路一致；(3) 僅保留「過(0,3/2)且遞減」時 φ=5π/6，但與題1 的最值點條件不相容。
採分點 不等式列寫 2 分；解得區間並注意 kπ 1 分；端點回代驗 1 分；f(π/12) 數值 1 分；和角公式第二路 2 分；(3) 取值 1 分；指出條件衝突 2 分。
易錯點 增區間寫成 k·2π（忘了 ω=2 使週期減半）；和角公式把 cos(π/6) 與 sin(π/6) 代反；(3) 直接給 φ=5π/6 卻不指出與「最值點在 π/6」矛盾；區間端點寫成開區間（最值點處導數為 0，區間仍可取閉）。
三、規律小結與對照表
| 參數 | 入口 | 本題結果 | 驗證方式 |
|---|---|---|---|
| A | A=(最大值−最小值)/2 | 3 | f(π/6)=3 為最大值 |
| T | 相鄰同相位點（兩最大值）橫座標差 | π | f(7π/6)−f(π/6) 同相 |
| ω | ω = 2π/T | 2 | 代入週期定義回算 |
| φ | 特殊點代入 + 升降趨勢定解 | π/6 | f(0)=3/2 且 f′(0)=3√3>0 |
| 舍根 | f′(x)=Aω cos(ωx+φ) 的符號 | 舍 5π/6 | cos(5π/6)<0 與遞增矛盾 |
| 單調區間 | 解 −π/2+2kπ ≤ ωx+φ ≤ π/2+2kπ | [−π/3+kπ, π/6+kπ] | 端點相位恰為 ±π/2 |
圖象求解析式的穩妥節奏是「A 看最值、ω 看週期、φ 看點＋看升降」，最後一定要把求出的式子代回所有已知點驗一遍。尤其是 φ 的兩解取捨，別憑「取個銳角順眼」——用 f′ 的符號，一步就能定死。本題圖象信息與數據均為自編示意，全部經解析式回代驗證。
四、自測清單
- A 用最大值與最小值之差的一半，別直接用最大值
- 週期取相鄰兩個「同相位點」的距離，不是相鄰零點
- φ 由特殊點代入後，若 sin 值非 ±1 必有兩組候選，必須討論
- 取捨用該點處 f′ 的符號（遞增 cos>0、遞減 cos<0），不靠直覺
- 求單調區間後檢查重複週期是 kπ 還是 2kπ（由 ω 決定）
- 把解析式代回全部已知點，含最值點、零點與升降點
